推 herstein :因為代數拓樸不是代數幾何 05/05 21:51
推 herstein :代數幾何使用了代數拓樸的方法來研究幾何 05/05 21:55
推 TassTW :你先嚴格定義一下你心中的"代數拓樸"是什麼吧? 05/05 21:57
→ TassTW :我心中的代數拓樸不太需要幾何 05/05 21:58
→ herstein :topological manifold是代數拓樸中，一類性質比較好 05/05 21:58
→ herstein :的拓樸空間。而代數拓樸研究的拓樸空間是任意的 05/05 21:58
→ herstein :雖然代數幾何中的scheme, variety都是拓樸空間 05/05 21:59
→ herstein :這類的拓樸空間都比較特別，拓樸是指定Zariski top 05/05 22:00
→ herstein :如同TASS說的~通常代數拓樸研究的拓樸空間並不一定 05/05 22:01
→ herstein :需要"幾何" 05/05 22:01
那我應該說, 我想討論的空間只是topological manifold的話, 有沒有模仿幾何的方法.
例如, 在研究二維closed manifold的分類時, 會使用微分結構, 儘管分類的是拓樸流形
這是因為任意surface都有微分結構, 所以在使用上會方便很多.
有額外結構的話, 能夠用Morse theory, 還有Riemann surface的結果.
這些結果能反回去得到其原本純粹的拓樸性質.
就像Hodge decomposition也能夠得到純粹拓樸的結果一樣
(例如Poincaré duality能夠用Hodge decomposition來證明)
→ herstein :只是當你的拓樸空間句有幾何結構時，你可以問說 05/05 22:02
→ herstein :你拓樸學上定義的不變量跟你拓樸空間所定義出來的幾 05/05 22:03
→ herstein :何有何關聯。 05/05 22:03
→ herstein :這時候，Hodge theory，index theory才開始扮演角色 05/05 22:03
→ herstein :然而你單純的從拓樸空間出發去定義不變量 05/05 22:04
→ herstein :不需要任何幾何結構 05/05 22:04
有的時候, 想拿幾何結構並不是因為要定義拓樸不變量來區分不同的空間
而是為了說明二種空間相同. 例如, 為了說明simply connected的closed 3-manifold
都是sphere, 會給它微分結構和metric, 然後在上面做Ricci flow.
講得precise一點, 看R這個constant sheaf, 或是singular cohomology以R為係數
假設我給了一個在cochain level的inner product,
那麼是否能有一個對應的Hodge decomposition?
當然, 在一個topological manifold上無法定義de Rham complex,
所以我覺得有可能的方法是在另一種cohomology下的decomposition
當然, 這種decomposition應該會depends on某個選擇(就像Hodge分解會依賴於metric)
推 HmmHmm :推上面, 然後我不大懂你的問題. 結構越多能討論的就 05/05 22:04
→ HmmHmm :越多, 代數幾何的結構那麼強當然很多東西就可以做啊 05/05 22:05
→ HmmHmm :代拓讚的地方就在於他不需要很多的幾何假設 05/05 22:06
但是我想說的就是, 假如能夠給一個幾何的結構, 就能使用幾何與分析的方法研究拓樸
得到的結果可能是個純粹的拓樸結果.
我想問的其中一個問題就是, 有沒有一種結構是“任意topological manifold”都能有的
而且能夠在上面apply分析方法的結構.
(雖然這種說法我自己都覺得有點虛幻飄渺...)
→ HmmHmm :你要 Grothendieck topology 的話至少可以看 etale 05/05 22:13
→ HmmHmm :cohomology 05/05 22:13
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 22:39)
推 herstein :你問的問題太vague。 05/05 22:52
本來我是想要問一問, 搞不好有這樣一們學問, 只是我不知道.
→ herstein :雖然top manifold沒有de Rham但都是用singular coho 05/05 22:52
→ herstein :你有幾何讓你推到一些拓樸結論，這類的拓樸都有些限 05/05 22:53
→ herstein :制。可能在某些情況，你還可以證明這些拓樸來讓空間 05/05 22:54
→ herstein :具有微分結構。你Hodge定理亙是存在於某種幾何空間中 05/05 22:55
→ herstein :基本上正是因為幾何的特殊性，才讓它的拓樸 05/05 22:56
→ herstein :具有某種好的性質。 05/05 22:56
嗯, 我也了解有幾何結構本身就已經有很好的性質了.
但是反之, 沒有幾何結構的manifold, 就只能用純粹的代數拓樸方法嗎?
我原本心中想的是, 也許有些結果是沒有微分結構的manifold同樣也能有一些性質,
只是因為沒有微分結構, 所以不太好研究. (當然這只是我自己的猜測)
例如, 有不存在微分結構的四維流形, 難道這樣就表示不可能classify四維流形嗎?
→ herstein :反之，給定一般的拓樸空間，你在沒有幾何的情況下， 05/05 22:56
→ herstein :你想要的 Hodge theory可能是不存在的 05/05 22:57
→ herstein :即使是具有幾何結構好了，compact跟noncompact就差 05/05 22:58
→ herstein :很多了 05/05 22:58
我最初想這件事情, 是因為我發現自己無法用代數拓樸來造homeomorphism
想要造homeomorphism between manifolds, 好像只能用Riemann surface uniformization
來造. 因為拓樸中的一串continuous map很難能夠收斂, 不像holomorphic map那樣
感覺代數拓樸有點無力(攤), 大部分的時候只能說二個流形不一樣, 而說不出何時一樣.
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 23:07)
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 23:10)
推 WINDHEAD :蠻有趣的問題,我想想看... 05/05 23:11
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/05 23:21)
推 WINDHEAD :話說代數拓樸本來就不是為了"製造homeomorphism"而 05/06 00:14
→ WINDHEAD :生的,代數拓樸的動機是"製造non-homeomorphism" 05/06 00:15
推 WINDHEAD :因為代數化的本質是看 homotopy equivalence 05/06 00:17
→ willydp :嗯對, 這好像應該叫geometric topology? 05/06 00:24
推 WINDHEAD :對阿,比方說4維流形,沒有微分結構的話就看PL結構 05/06 00:27
推 WINDHEAD :老實說流形的定義不就是局部歐式嗎, "歐式"這件事情 05/06 00:33
→ WINDHEAD :就不是純粹代數拓樸的條件了,我不太懂為什麼你一定要 05/06 00:34
→ WINDHEAD :要求用純拓樸的方法來刻劃homeomorphism? XXDD 05/06 00:34
→ Vulpix :歐氏XD 超過拓樸但不及微分幾何的東西嗎？有的話 05/06 00:43
→ Vulpix :一定很有趣吧！ 05/06 00:43
→ willydp :像是Hölder/Lipschitz structure可能會是一種 05/06 00:49
→ willydp :但也不是所有manifold都能有這種結構 05/06 00:50
推 herstein :holomorphic map的性質太特別...所以複流形 05/06 00:52
→ willydp :可能需要更加抽象的方式來建構更一般的幾何結構 05/06 00:52
→ herstein :的範疇才會非常特別 05/06 00:52
→ WINDHEAD :你還是可以看 PL(piecewise linear)結構, 不過我不是 05/06 00:53
→ WINDHEAD :這方面的專家...不懂 05/06 00:53
→ herstein :PL的結構已經不算太差了XD基本上就是把它想成用 05/06 00:54
→ herstein :simplices貼起來的東西 05/06 00:54
→ herstein :不過方法都還是用singular homology或是類似的 05/06 00:55
→ herstein :Borel Moore homology 05/06 00:55
→ willydp :嗯, 複流形非常rigid. 05/06 00:55
→ herstein :代數拓樸理面我們所建構的代數不變量 05/06 00:55
→ willydp :但是riemannian manifold也有harmonic map這樣的東西 05/06 00:56
→ herstein :能決定的拓樸不變量並不能回去決定原空間的拓樸 05/06 00:56
→ herstein :通常你得到的只是非常小piece的東西 05/06 00:57
→ herstein :也因為這樣，所以代數拓樸的工具就很多 05/06 00:57
→ herstein :而代數拓樸所研究的拓樸空間的對象就比較廣 05/06 00:58
→ herstein :通常有個具體的問題去問你需要甚麼東西去解決 05/06 01:00
→ herstein :會比只是單純的問"甚麼結構拿來幹嘛"會好點 05/06 01:00
→ herstein :在數學歷史的上，通常都是有個數學問題，為了解決 05/06 01:01
→ herstein :這問題，才發展某些數學理論。通常不會沒有理由得隨 05/06 01:01
推 TassTW :這篇釣到好多大魚 05/06 01:01
→ herstein :意推廣。因為你所推廣出來的數學未必有用 05/06 01:02
→ willydp :感謝板上各位大師的解釋, 讓我增長了些知識. 05/06 01:13
推 WINDHEAD :其實我本來以為他想問的是非交換幾何 05/06 06:21
沒什麼結構的topological manifold, 比一大堆結構的scheme和variety還難掌握.
我覺得自己對一個Hausdorff manifold這樣簡單的物件都了解極少.
就連S^4中挖掉一個S^3是什麼樣子都說不出來, 只知道它有二個component.
所以有一些想在topological manifold上面多給些較弱的幾何結構, 這樣天馬行空的想法
也許還是去多讀些代數幾何比較實際吧? 拓樸太困難了?
※ 編輯: willydp 來自: 220.132.161.204 (05/06 07:30)
推 WINDHEAD :結構很多也只是比較rigid,能問的問題其實非常多 05/06 13:08
推 WINDHEAD :至於S^4挖掉S^3是什麼? 四維的東西本來就沒辦法 05/06 13:12
→ WINDHEAD :有符合直觀的想像啦~~~不用這麼傷心吧XD 05/06 13:13
→ WINDHEAD :人類發展數學本來就是為了衝出直觀感官的限制 05/06 13:14
推 herstein :拓樸跟代數幾何發展的方式不太一樣~~ 05/06 15:00