推 ouchbgb :分母是 x^2+2x 不能整除 x^5, 才會有這種問題 05/08 11:39
→ ouchbgb :用sigma_{k=1~10} (2k+1)(2k)(2k-1) 展開去計算 05/08 11:40
※ 引述《xenium989 (xenium989)》之銘言：
: 請問c(3,3)+c(5,3)+c(7,3)+…+c(21,3)=4015
: 方法一
: 此題我用的方法是稍化簡後分母都為6，接下來就是用級數公式寫出，
: 然後算出4015這個答案。
: 方法二
: 後來又想到它不就是(1+x)^3+(1+x)^5+(1+x)^7+…(1+x)^21中 x^3的係數，
: 但問題是我先將(1+x)^3+(1+x)^5+(1+x)^7+…(1+x)^21用等比級數算出和再
: 利用二項式定理算出的答案竟然不一樣，我算了三次就是得不到4015，不知
: 各位高手我是否有那裡出錯呢？謝謝
: 我的解法如下
: (1+x)^3+(1+x)^5+(1+x)^7+…(1+x)^21=[(1+x)^23-(1+x)^3]/(x^2+2x)
: 所以就是求(1+x)^23中x^5的係數，這樣不知錯在那裡？謝謝
: 再加問一下，我本來以為是巴斯卡就可以拆開化簡得到，但一直找不出，懇
: 請高手指點，謝謝
今天又看到這題，勉強用了一堆巴斯卡定理來做，不知有無更好的方法?
設A=C(3,3)+C(5,3)+C(7,3)+...+C(21,3)
B=C(4,3)+C(6,3)+C(8,3)+...+C(22,3)
則B+A=C(23,4) (巴斯卡)
B-A=C(3,2)+C(5,2)+C(7,2)+...+C(21,2)
故2A=C(23,4)-[C(3,2)+C(5,2)+...+C(21,2)]
設X=C(3,2)+C(5,2)+C(7,2)+...+C(21,2)
Y=C(4,2)+C(6,2)+C(8,2)+...+C(22,2)
則Y+X=C(23,3)-1 (巴斯卡)
Y-X=C(3,1)+C(5,1)+...+C(21,1)=(3+21)*10/2=120 (等差)
得2X=C(23,3)-1-120=1650
故X=825, 則2A=C(23,4)-X=8855-825=8030
得A=4015
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