Re: [微積] 對數(分式)積分

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言：
: 題目：∫(x+2)/[x^(2)-1]
: 答案：(3/2)*ln|x-1|-(1/2)*ln|x+1|+c
: 小弟的想法：
: (x)^(2)-1 = (x+1)*(x-1)
: 那分數的分母應該可以拆成1/(x+1) , 1/(x-1)，
: [1/(x+1)]-[1/(x-1)]=(-2)/[x^(2)-1]
: [1/(x-1)]-[1/(x+1)]=2/[x^(2)-1]
: 怎麼化簡都不對，分子都沒辦法變成(x+2)????
: 到這邊就卡住了，不知道此積分要利用(對數)去計算，該怎麼分化分式？
: 麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！
本題 使用Heaviside cover-up method (Heavisde覆蓋法)

    x+2              x+2            -0.5      1.5
∫────dx = ∫───── dx = ∫[─── + ───] dx
   x^2-1         (x+1)(x-1)          x+1      x-1


                               = 1.5 ln│x-1│ -0.5 ln │x+1│ +c

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.103.131
→ Heaviside   :另解 較複雜 等實驗室meeting完再PO
→ Heaviside   :如對Heaviside覆蓋法不熟 請參閱 13919篇
→ oginome     :哈維賽德本人～XDDDDDDD
推 Frobenius   :哈維賽德本人～XDDDDDDD
推 pigheadthree:謝謝前輩的指導，可以請問-0.5與1.5怎麼來的嗎？
因知x^2 -1 =(x+1)(x-1)

      x+2         x+2         A        B
令  ─── = ────── = ─── + ───
     x^2-1    (x+1)(x-1)     x+1      x-1

接下來 拿出您可愛的雙手
欲得A 將左式分母的(x+1)蓋起來 其餘部分x代-1  就得到了
欲得B 將左式分母的(x-1)蓋起來 其餘部分x代1   就得到了

因為覆蓋法因為要用到可愛的小手
所以又稱為 Heaviside 手遮法
→ suhorng     :by heaviside cover-up method
推 newversion  :heaviside method對初學者不太適哈，乖乖通分比較系
→ newversion  :數最在，等觀念搞董再來用heaviside method速度較快
Meeting回來了  好累.....

另解： 代值法

已知 x^2-1 =(x+1)(x-1)

    x+2           x+2          A
  ──── = ────── = ─── + E(s)
   x^2-1      (x+1)(x-1)      x+1

兩端同乘(x+1)得

                 x+2
               ──── = A+ (x+1)E(s)
                 x-1

x=-1代入得  A= -0.5

                      1.5
再代回整理得 E(s) =  ───
                      x-1

可得
      x+2       -0.5      1.5
    ──── = ───  + ───
     x^2 -1      x+1      x-1
→ Heaviside   :是Frobenius大大的推文 難怪我現在是跪著站不起來...
推 holgaga     :欲得A 將左式分母的(x+1)蓋起來 其餘部分x代"-1"吧
→ holgaga     :B的才代1
※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.98.10        (05/09 22:36)
→ Heaviside   :對耶 因為趕著回溫暖的家 然後就筆誤了@@
→ sneak       : 如對Heaviside https://muxiv.com
→ muxiv       : 另解 較複雜 等實驗室 https://muxiv.com