Re: [微積] 對數(分式)積分

[pigheadthree (爬山)]

※ 引述《pigheadthree (爬山)》之銘言：
: 題目：∫{(x+2)/[x^(2)-1]}dx
: 答案：(3/2)*ln|x-1|-(1/2)*ln|x+1|+c
: 小弟的想法：
: (x)^(2)-1 = (x+1)*(x-1)
: 那分數的分母應該可以拆成1/(x+1) , 1/(x-1)，
: [1/(x+1)]-[1/(x-1)]=(-2)/[x^(2)-1]
: [1/(x-1)]-[1/(x+1)]=2/[x^(2)-1]
: 怎麼化簡都不對，分子都沒辦法變成(x+2)????
: 到這邊就卡住了，不知道此積分要利用(對數)去計算，該怎麼分化分式？
: 麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！

分化積分法：

∫{(x+2)/[x^(2)-1]}dx

=∫{x/[x^(2)-1]}dx+∫{2/[x^(2)-1]}dx

令u=x^(2)-1

du = 2x*dx

x*dx = (1/2)*du

∫{x/[x^(2)-1]}dx =(1/2)*∫(1/u)du = (1/2)*ln u + c



∫{2/[x^(2)-1]}dx

=∫{[1/(x-1)]-[1/(x+1)]}dx

=∫[1/(x-1)]dx-∫[1/(x+1)]dx

=ln(x-1) - ln(x+1) + c



∫{(x+2)/[x^(2)-1]}dx

=(1/2)*ln u + ln(x-1) - ln(x+1) + c

???

請問前輩，再來該怎麼拆解啊？麻煩不吝嗇指導，謝謝！


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.165.178.46
※ 編輯: pigheadthree    來自: 1.165.178.46         (05/09 19:31)
→ suhorng     :等等 你不是已經算出答案了!? 然後!?
推 Scape       :把u代回x^2-1不就好了嗎？
∫{(x+2)/[x^(2)-1]}dx

=(1/2)*ln u + ln(x-1) - ln(x+1) + c

=[(1/2)*ln x^(2)-1]+ln(x-1)-ln(x+1)+c

=[(1/2)*ln (x-1)*(x+1)]+ln(x-1)-ln(x+1)+c

=(1/2)*ln(x-1)+(1/2)*ln(x+1)+ln(x-1)-ln(x+1)+c

=(3/2)*ln(x-1)-(1/2)*ln(x-1)+c

=(1.5)*ln|(x-1)|-(0.5)*ln|(x-1)|+c



oh yea！總算算出來了，謝謝前輩們的指導，謝謝！
※ 編輯: pigheadthree    來自: 1.165.178.46         (05/09 19:49)
推 newversion  :高興了吧XD 加贈你一題 ∫ (x+2)/[ (x^2-1)(x+3)] dx
※ 編輯: pigheadthree    來自: 1.165.178.46         (05/10 10:53)