→ Heaviside :對了 積分下標的x或y 表為對x or y做積分 05/10 10:28
→ rebe212296 :請問為什麼多了一個xy^2 謝謝 05/10 11:49
推 rebe212296 :我會了 謝謝 05/10 11:56
※ 引述《rebe212296 (綠豆冰)》之銘言：
: 設f(x,y)滿足f_x=x^2+y^2, f_y=2xy, 及f(0,0)=1, 求f(x,y)
: 解:(1)試y為常數,積分得f(x,y)=∫(x^2+y^2)dx=1/3*(x^3)+xy^2+g(y)
: (2)在偏微分得f_y=2xy+g'(y)=2xy→g'(y)=0所以g(y)=c
: (3)又f(0,0)=1→c=1所以f(x,y)=1/3*(x^3)+xy^2+1
: 我想問第一步積分為什麼是這樣?謝謝!
話說源頭
我從f(x,y)來推
可能會比較清楚
let f(x,y)=c
則f(x,y)的全微分為 f_x (x,y)dx + f_y dy =0
註: f_x(x,y)為f(x,y)對x做偏導數
此時 是令y為常數
所以 當我們反推回去時 也是令y為常數 f_x (x,y)對x做積分
故
1
∫ f_x(x,y)dx = ∫ (x^2+y^2)dx = ── x^3 +xy^2 +f(y)
x x 3
再這裡 為什麼是補f(y) 而不是常數C呢？
因為 我們是對x做偏微分
所以 若原本的f(x,y)中 有一項僅有y變數的話
視y為常數的結果 對x微分就不見了
所以 f_x (x,y)對x積分時 要補上f(y)
同理得
∫f_y(x,y)dy = ∫2xydy = xy^2 +f(x)
y y
1
故 f(x,y)= ──x^3 +xy^2 +f(y)=xy^2+f(x)
3
1
比較得 f(x)= ──x^3 +C , f(y)=C
3
1
f(x,y)= ── x^3 +xy^2 +C
3
又 f(0,0)=1 => C=1 為解
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