推 ericakk :真是太感謝您了^__^ 05/10 21:36
→ ericakk :解說得很清楚^^ 05/10 21:36
※ 引述《ericakk (ericakk)》之銘言：
: 設函數f具有以下性質:
: 對於所有正實數x皆滿足 f(3x)= 3f(x) 且f(x)= 1－|x－2| (1≦x≦3)
: 試求 滿足 f(x)= f(2010)的最小x值為何？
: Ans:420，請問該如何下筆.....先說聲謝謝喔^^
先看 1≦x≦3 時 f(x) 到底是什麼
從絕對值去看分段討論:
1≦x≦2 時 f(x) = 1 - (2-x) = x-1
2≦x≦3 時 f(x) = 1 - (x-2) = 3-x
畫成圖就是這樣
Y
１| ／＼
| ／ ＼
０+------------- X
１ ２ ３
然後 f(3x) = 3f(x) 的意思其實就是把同樣的圖形複製後
↑ ↖
------------- -------------
左右拉長 3 倍再上下拉長 3 倍後放到右邊去
(自己試著想一想 3≦x≦9 的情形 f(x) 會是如何就可以看得出來了)
也就是說 f(x) 的圖形會是一座一座越來越高的山峰
峰頂的 y 值會一次跳 3 倍
第一座山山頂是 y = 1 = 3^0
第二座山山頂是 y = 3 = 3^1
第三座山山頂是 y = 9 = 3^2 等等
大概像這樣
| ／＼
| ／ ＼
| ／ ＼
| ／ ＼
| ／ ＼
| ／ ＼
| ／＼ ／ ＼
| ／ ＼ ／ ＼
| ／＼／ ＼／ ＼
+-------------------------------------------------------
再來來求 f(2010)
易知 3^6 = 729 < 2010 < 2187 = 3^7
所以 f(2010) = f(729 * (2010/729)) = 729 * f(2010/729)
由於 2010/729 > 2 所以 f(2010/729) = 3 - 2010/729 = 177/729
因此 f(2010) = 177
最後我們要找出 f(x) = 177 的最小 x
由於 3^4 = 81 < 177 < 243 = 3^5
↑ ↑
第五個山頂 第六個山頂
第一個上到 y = 177 的時候的 x 是在第六座山上 (x 在 [3^5,3^6] 當中)
那因為第六座山是第一座山放大 3 倍五次而來的
所以可以知道 x' = x / 3^5 會在 [1,3] 當中
既然 f(x) = 177 那麼 f(x') = 177/3^5 = 177/243
比較小的 x 值是左邊的山坡 ([1,2]) 所以 f(x') = x' - 1 = 177/243
故 x' = 177/243 + 1 = 420/243
於是所求的 x = x' * 243 = 420
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LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
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