→ kanoki :不過這題本為填充題，其實大概算猜得到答安就好 05/13 21:47
推 thisday :連分數! 05/13 22:14
※ 引述《doa2 (邁向名師之路)》之銘言：
: : 4. 建中考題:已知 34 a 47
: : ---- > --- > --- 問b之最小值
: : 109 b 151
: b越小a也越小, 則a+b也越小
: 倒數得109/34 < b/a < 151/47 => 7/34 < (b-3a)/a < 10/47
: 倒數得34/7 > a/(b-3a) > 47/10 => 6/7 > (13a-4b)/(b-3a) > 7/10
: 倒數得 7/6 < (b-3a)/(13a-4b) < 10/7 => 1/6 < (5b-16a)/(13a-4b) < 3/7
: 取(5b-16a)/(13a-4b) = 1/3
: 則15b-48a=13a-4b => 19b=61a => a/b =19/61
: 得b最小為61
: : 5. 建中考題:最後一題的2,4小題
: : http://camel.ck.tp.edu.tw/~cktop94/test/mstest/100math.pdf
: (有證出來但是BBS上不好打，交給有閒的高手吧~)
我先將原題再細分為2個條件
47/151< a/b < 34/109 ， a,b為正整數 ....(1)
b最小 ....(2)
求滿足(1)(2)的b值
首先從連分數來看
1
---------------------------
1
47 3 + ---------------------
----- = 1
151 4 + --------------- ....(A)
1
1 + ---------
1
2 + ---
3
1
---------------------
1
3 + ---------------
34 1
----- = 4 + --------- ....(B)
109 1
1 + ---
6
令
1
---------------------
1
3 + ---------------
a 1
--- = 4 + --------- ....(3)
b 1
1 + ---
X
X = n/m ,
其中 m,n 為互質正整數。 ....(4)
由(3)、(4)得
a/b = (5*n + 4*m) / (16*n + 13*m) ....(5)
由(4)可得
(5*n + 4*m),(16*n + 13*m) 互質 ....(6)
由(2)、(5)、(6)可得
a = 5*n + 4*m
b = 16*n + 13*m ....(7)
由(A)、(B)、(3)、(4)可得
2+(1/3) < X=n/m < 6 ....(8)
由(4)、(8)可知
m>=1,n>=3 ....(9)
明顯(m,n)=(1,3)滿足(8)，即滿足(1) ...(10)
由(2)、(7)、(9)、(10)
得 b = 16*3 + 13*1 = 61
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