Re: [分析] 台大考古題一問

[yueayase (scrya)]

※ 引述《subtropical (風大雨大)》之銘言：
: I = (a,b)  -inf < a < 0 < b < inf
: f 可微   證下列兩者相等
: 1.f'(x) = f(x)
: 2.f(x) = f(0)*exp(x)


1 => 2

用分離變數法:

       1
 ∫ ------ f'(x) dx  = ∫dx
     f(x)


 ln f(x) = x + ln C


 => f(x) = C exp(x)


 f(0) = C exp(0) = C

So, f(x) = f(0)*exp(x)


2 => 1

因為可微

              d
f'(x) = f(0) ---exp(x) = f(0) exp(x) = f(x)
              dx


應該這樣就可以了吧

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推 znmkhxrw    :嚴謹來說1=>2不能這樣 因為f(x)可能為0
→ znmkhxrw    :同乘積分因子才沒有瑕疵
→ yueayase    :我當初看就覺得為何要乘積分因子這麼複雜,現在懂了
→ yueayase    :那如果硬是討論f(x)=0和不為0的情況討論呢?
推 znmkhxrw    :我討論過 也很複雜 因為f=/=0 有兩種
→ znmkhxrw    :一種是f恆不為0，則根據f連續，不是恆正就是恆負
→ znmkhxrw    :這case簡單，但是如果是另一種：存在一點a使得f(a)=0
→ znmkhxrw    :也不知道有幾個a 很複雜
→ znmkhxrw    :其實有另外一個方法，ODE的存在唯一性定理，不同兩解
→ znmkhxrw    :不是完全相等就是不相交
→ znmkhxrw    :而因為f(x)=0(零解) 是f'=f的解
→ znmkhxrw    :所以根據存在唯一性定理 如果f(0)=/=0
→ znmkhxrw    :則f(x)不是恆大於零就是恆小於零
推 Vulpix      :來玩玩看吧，假設{f=0}的元素超過一個。
→ Vulpix      :叫他們a,b  那麼f這個連續函數在[a,b]上有最大值
→ Vulpix      :又因為f可微,所以在f最大時,一定f'=0. 所以此時f=0.
→ Vulpix      :同理可知,f在[a,b]上最小值也是0. 所以f=0 on[a,b].
→ Vulpix      :更正一下樓樓樓上: 叫其中兩個a,b
→ yueayase    :那到底何種情形下可以用分離變數法??
→ Vulpix      :我個人認為分離變數法是很準確地猜答案用的XD
推 znmkhxrw    :推猜答案XDD
→ Vulpix      :然後有沒有可以f有0又有不是0的時候呢？
→ Vulpix      :答案當然是否定的，來做做看吧。
→ Vulpix      :f(a)=0,f(b)!=0. 那至少在b附近，f(x)=f(b)exp(x-b)
→ Vulpix      :然後我們發現想要讓f(b)不是0就會讓我們的解一路解到
→ Vulpix      :整個|R上,而且完全沒辦法找到那個a...|||
推 herstein    :猜答案可以XD
※ 編輯: yueayase (36.236.229.213), 03/20/2015 21:50:44
→ sneak       : 叫他們a,b  那麼f https://muxiv.com
→ sneak       : 同乘積分因子才沒有瑕疵 https://muxiv.com
→ muxiv       : 則f(x)不是恆大於零 https://moxox.com