作者yueayase (scrya)
看板Math
標題Re: [工數] Variation of parameters
時間Wed May 15 16:58:10 2013
※ 引述《zirconium (zirconium)》之銘言：
: http://ppt.cc/Da1G
: O'Neil 第六版 82 頁
: 解 Nonhomogeneous Yp 的推導過程
: 裡面如圖中紅框圈起來的
: Simplify this derivative by imposing the condition that
: u1'y1 + u2'y2 = 0
: 不太懂這條件為什麼會成立
: 請板上大大解惑 謝謝
這個方法在high-order的作法也是像這樣一路上都令為0, 最後的再令它等於f(x)
考慮線性微分方程:
(n) (n-1)
y (x) + a(n-1)y (x) + ... + a(0)y(x) = f(x)
y1(x), y2(x), ... yn(x) 是對應的 homogeneous solutions
令yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) + ... + un(x)yn(x)
'
=> yp = (u1y1'+ u2y2'+ ... + unyn') + (u1'y1 + u2'y2 + .... + un'yn)
令 u1'y1 + u2'y2 + .... + un'yn = 0
yp'' = (u1y1''+ u2y2'' + ... + unyn'') + (u1'y1' + u2'y2' + ... + un'yn')
令 u1'y1' + u2'y2' + ... + un'yn' = 0
...
(n) (n) (n) (n)
yp = (u1y1 + u2y2 + ... + unyn ) +
(n-1) (n-1) (n-1)
(u1'y1 + u2'y2 + ... + un'yn )
(n) (n-1)
yp + a(n-1)yp + ... + a(0)yp = f(x) 比較係數
和因為 y1, y2, ... yn 是解
(n-1) (n-1) (n-1)
=> u1y1 + u2y2 + ... + unyn = f(x)
一路下來可以看到, 這樣令它為0的過程可以得到一個規則:
[y1 y2 ... yn ] [u1'] [ 0 ]
[y1'y2'... yn' ] [u2'] [ 0 ]
[ ... ] ... = ...
(n-1) (n-1)
[y1 ... yn ] [un'] [f(x)]
T
wronskian行列式對應的matrix * 參數的一階導數向量 = (0, 0, ..., f)
還蠻漂亮的
而事實上那令它為0是否成立, 就要看u1(x), u2(x), ..., un(x)能不能解的出來
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
推 Vulpix :至於為什麼要用Wronskian,因為他不是0(至少通常不是) 05/15 17:01
→ Vulpix :所以根據克拉瑪公式也好，用反矩陣也好，就告訴咱們 05/15 17:02
→ Vulpix :un'可解出來，然後積分一下就好了。 05/15 17:03
→ yueayase :應該就像Vandermonde matrix吧 05/15 17:12
→ yueayase :應該說通常y1, y2, ..., yn獨立 => wroskian不為0 05/15 20:05
→ yueayase :所以一定有解 05/15 20:05
推 zirconium :感覺不太像是工學院大二工程數學 而是更深入版 05/16 08:13
→ zirconium :請問這是 Shepley L. Ross 的 Differential eq. 3rd 05/16 08:14
→ zirconium :第11章"The theory of differential eq." ? 05/16 08:16
→ yueayase :就只是據你大二工數學到的方法,作一些推廣 05/16 10:45
→ yueayase :應該並不難理解 05/16 10:45
→ zirconium :恩 謝謝y大 再請問有沒有另外推薦的參考書 ? 05/16 11:13
※ 編輯: yueayase (36.236.229.213), 03/20/2015 21:24:38