[代數] 關於解一元三次方程式的問題

[ipost (man)]

假設有個一元三次方程式 x^3+px+q=0
先考慮 p q都是實數的情形 比如 (x-3)(x-6)(x+9)=x^3-63x+162=0

如果用一般通用的演算法, 令x=u+v 代入後, 解 uv=21 和 u^3+v^3=-162
設 w是 x^3=1 的複數根, 則

u+v, uw+vw^2, uw^2+vw 是原方程式的三個根, 這是一般的演算法

問題是 u,v解出來時常是複數, 也就是帶有虛數 i 的形式如下

(a+bi)^(1/3) 和 (a-bi)^(1/3)

比方上面 x^3-63x+162=0 解出來 a=-81 b=30*(3^1/2)

但我們又知道三個根裡面一定有一個實根, 甚至三個都是實根
比如上面的例子, 三個根是 3 6 -9
所以我們想把虛部給消掉, 因為是實根, 所以一定能消掉
但要如何消掉呢?

而當係數可能是複數時, 也就是說我們不知道三個根裡有沒有實根時,
又如何如道虛部可否消掉呢?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 221.169.231.152
→ Vulpix      :選好branch就行，問題在立方根這個函數。
推 LPH66       :其實一樓說的跟原 PO 提的 uw+vw^2 uw^2+vw 是一樣的
→ Vulpix      :其實我想說的是(a+bi)^(1/3)和(a-bi)^(1/3)亂算的話
→ Vulpix      :很可能沒有辦法滿足uv=21之類的方程式
→ ipost       :解上面那個u v的聯立方程式 方法是 u^3+v^3先平方，
→ ipost       :減去4*(uv)^3，再開平方，得到u^3-v^3
→ ipost       :就可以解出u^3 v^3，再分別開立方得u v，這是一般的
→ ipost       :方法，也是我唯一知道的方法
→ Vulpix      :抱歉現在才回...我說的就是"分別開立方"亂算
→ Vulpix      :什麼叫亂算：u^3+v^3=2,uv=1，按照上面的作法得
→ Vulpix      :u^3=1, v^3=1。"分別開立方"得u=w,v=w，然後會發現
→ Vulpix      :uv不是1。這是亂算造成的(其實就是增根)。
→ sneak       : u^3=1, v^3= https://muxiv.com
→ sneak       : //muxiv.com https://daxiv.com
→ muxiv       : 方法，也是我唯一知道的 http://yaxiv.com