推 t0444564 :五次以上不是沒有公式解嗎XDD? 05/17 10:56
推 Scape :係數沒有規則的五次以上多項式的確沒有公式解 05/17 11:00
→ Scape :但是在數學上，要證明他沒有也是非常重要且有時非常 05/17 11:00
→ Scape :困難的。像是費馬最後定理就是。 05/17 11:03
※ 引述《ipost (man)》之銘言：
: 假設有個一元三次方程式 x^3+px+q=0
: 先考慮 p q都是實數的情形 比如 (x-3)(x-6)(x+9)=x^3-63x+162=0
: 如果用一般通用的演算法, 令x=u+v 代入後, 解 uv=21 和 u^3+v^3=-162
: 設 w是 x^3=1 的複數根, 則
: u+v, uw+vw^2, uw^2+vw 是原方程式的三個根, 這是一般的演算法
: 問題是 u,v解出來時常是複數, 也就是帶有虛數 i 的形式如下
: (a+bi)^(1/3) 和 (a-bi)^(1/3)
: 比方上面 x^3-63x+162=0 解出來 a=-81 b=30*(3^1/2)
: 但我們又知道三個根裡面一定有一個實根, 甚至三個都是實根
: 比如上面的例子, 三個根是 3 6 -9
: 所以我們想把虛部給消掉, 因為是實根, 所以一定能消掉
: 但要如何消掉呢?
: 而當係數可能是複數時, 也就是說我們不知道三個根裡有沒有實根時,
: 又如何如道虛部可否消掉呢?
以前學了一元三次方程式的解法, 從來也沒實際操作過
以為公式代進去, 就像二次方程式一樣就解決了
現在發現問題很大
代公式進去, 通常會出現虛部或是無理數
如果要把根的虛部消掉, 或是把無理數化成有理數
本身就是一個等價的三次方程式問題
比如把根表示為 cosy+isiny, 然後試圖用3倍角公式
那麼會跑出一個等價的三次方程式
也就是說, 其實所謂的三次方程式的公式解
只是用另一種方式來表示這個方程式, 仍然不知道根是否是實數等性質
歷史上說, 塔爾塔里亞因為卡丹偷了他的方法,
憤而向卡丹提出挑戰, 比賽解三次方程式, 然後大勝
現在看起來, 他幾乎不可能是用他自己發明的這個方法獲勝
因為 1. 卡丹同樣知道這個方法
2. 這個方法得出的解可能是複數型式, 而當時還沒有複數
所以其實數學史上解出一元三次方程式的公式這個成就, 沒有原先我以為的那麼偉大
因為別的數學家可能看出了公式並沒有實用性, 所以追求數值的近似解
不過五次以上方程式的公式解問題, 意義就不一樣了.
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◆ From: 221.169.231.152
※ 編輯: ipost 來自: 221.169.231.152 (05/17 10:12)
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