Re: [中學] 國中段考爭議

[oginome (荻野目洋子)]

※ 引述《Scape (non)》之銘言：
: (a+3):(b+5) = ((3b)/5 +3):(b+5) = (3b+15):(5b+25) = 3(b+5):5(b+5) = 3:5
: 若不能接受(b+5)可以相消這回事，那數學上有太多東西都不能做了
: 這樣的解法就只用單純國高中所知的算式去推演
: 背後的理由就完全都沒講
: 能不能接受就看各位了，不想再花時間在這上了

      分子分母要相消有個原則，那就是分母不可為0，等量公理應該可以說明這一點。

  等式兩邊各做相同的四則運算成立，但做除法時，除式不可為0，亦即為0的值獲多項

  式是不可相消的。

  我記得很久以前有個詭論是這樣的：

  假設A=B，那麼請看以下方程式的等量公理推導：

                    A = B

                  A*A = B*A            <----同乘A

                  A^2 = B*A            <----整理可得

              A^2-B^2 = B*A-B^2        <----同減B平方

           (A+B)(A-B) = B(A-B)         <----左式用乘法公式拆開，右式提出B

     (A+B)(A-B)/(A-B) = B(A-B)/(A-B)   <----等號兩端同除(A-B)

                                            亦即等號兩端相消(A-B)

              得(A+B) = B

         又照原假設 A = B

            所以(B+B) = B

                   2B = B

                    2 = 1

                 結論不可能？

        原因當然就出在黃色字串那邊

        (A+B)(A-B) = B(A-B)把等號兩邊(A-B)相消就直接得到A+B = B

        當A = B，亦即(A-B)=0時，是不可以相消的。

        等號兩端相消一個方程式或值，等同於等量公理的同除某方程式或值。

        值(常數、係數)可以任意消，因為我們不大會寫成0*(某多項式)，所以

        沒這問題，故等量公理裡面，兩端不可以做分母為0的除法，這是習慣移項

        運算的人很容易犯的一種盲點。

        參考一下....

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 36.239.229.100
→ alfadick    :有實例響噹噹的打臉的感覺真棒!!!!!
→ alfadick    :S大提意見是可以，口氣那麼兇，那個不可一世真討厭
→ alfadick    :"還沒不能接受我也沒辦法花時間再做解釋了"
→ alfadick    :"這些基本的邏輯推演還有問題就請其他版友幫忙或..."
→ oginome     :這樣應該能夠充分解釋為何(b+5)不能相消了吧
→ oginome     :(b+5)甚麼時候都能消，就是b=-5的時候不能消
→ oginome     :而且S大一開始用極限值討論有問題，極限值存在，不等
→ oginome     :於函數值存在，函數值可以是空的，極限值照樣存在
→ oginome     :lim(1/x+1) x->-1 就是最好的例子。
→ oginome     :X在-1+或-1-的地方都有值∞，極限值存在，唯獨x=-1時
→ oginome     :函數值不存在。
→ oginome     :我可接受比例後項不得為0的限制或說法
→ oginome     :但S大試圖用數學比較精準的說法下去證明之後就變調了
※ 編輯: oginome         來自: 36.239.229.100       (05/17 14:42)
→ Scape       :你的前提還是假定在b可以等於-5上
→ Scape       :但任何一本國高中課本都跟你說在處理比值上時後項不
→ Scape       :可為零。
→ Scape       :而為什麼不可為零這件事情是我一直嘗試在解釋的
→ Scape       :因為若可以讓他為零，就會出現矛盾的情況
→ Scape       :為什麼能接受a/b = 3/5 時 b不能為0
→ Scape       :卻不能接受 (a+3)/(b+5)時b不能為-5呢?
→ oginome     :我能接受啊，如果分母不可為0是要被當成一個可不用說
→ oginome     :明的條件當然OK，但S大你要用嚴格的方式來希望大家
→ oginome     :接受(b+5)是可以相消的不是嗎？但是你的推論過程就
→ oginome     :不那麼嚴謹，用取極限的方式也無法說明b=-5那點要怎
→ oginome     :辦，如果說你的前提是在這比例式中，b自然而然就不可
→ oginome     :以=-5，(B=/=-5以隱條件存在)，那麼就和原出題老師說
→ oginome     :的一模一樣，那麼就會變成K大的說法，其實這題出的
→ oginome     :就是有瑕疵，因為即使我們知道分母不可為0(為0就沒有
→ oginome     :討論的意義)，數學上我們還是得寫出來
→ oginome     :因此若原出題老師寫成(D) (a+3): (b+5)=3:5(b=/=-5)
→ oginome     :今天就一點爭議也沒有了
→ oginome     :就數學的嚴謹來說，我能接受的是a/b = 3/5(b=/=-5)
→ oginome     :而不是單單a/b = 3/5 ，如果你問我這個問題，我會覺
→ oginome     :的任何沒有註明分母不得為0的寫法都是有瑕疵的
→ oginome     :當然S大若覺得只是中學而已有必要這樣嗎？我也能接受
→ oginome     :但就嚴謹性上，數學必須是寫有就有，沒寫就沒這樣
→ oginome     :定義域訂出來之後，就不可有任何的例外，有就要先寫
→ oginome     :但如果這題的瑕疵，能讓應考同學都藉此機會體會到這
→ oginome     :點，那就很有價值啦～
→ alfadick    :我覺得我那篇文章有點出Scape大的癥結
→ alfadick    :還是用正規邏輯的描述語言來想吧= =
→ sneak       : 你的前提還是假定在b可 https://noxiv.com
→ sneak       : "還沒不能接受我也沒辦 https://daxiv.com
→ muxiv       : (b+5)甚麼時候都能 https://noxiv.com