→ suhorng :我猜(原)原PO可能還有另一個意思, 說例如 05/17 15:57
→ suhorng :cos(arccos(...))等形式即使原本解是整數,也不容易 05/17 15:58
→ suhorng :看出來? 05/17 15:58
→ suhorng : ^^^改成有理數 05/17 16:00
※ 引述《ipost (man)》之銘言：
: ※ 引述《ipost (man)》之銘言：
: : 假設有個一元三次方程式 x^3+px+q=0
: : 先考慮 p q都是實數的情形 比如 (x-3)(x-6)(x+9)=x^3-63x+162=0
: : 如果用一般通用的演算法, 令x=u+v 代入後, 解 uv=21 和 u^3+v^3=-162
: : 設 w是 x^3=1 的複數根, 則
: : u+v, uw+vw^2, uw^2+vw 是原方程式的三個根, 這是一般的演算法
: : 問題是 u,v解出來時常是複數, 也就是帶有虛數 i 的形式如下
: : (a+bi)^(1/3) 和 (a-bi)^(1/3)
: : 比方上面 x^3-63x+162=0 解出來 a=-81 b=30*(3^1/2)
: : 但我們又知道三個根裡面一定有一個實根, 甚至三個都是實根
: : 比如上面的例子, 三個根是 3 6 -9
: : 所以我們想把虛部給消掉, 因為是實根, 所以一定能消掉
: : 但要如何消掉呢?
: : 而當係數可能是複數時, 也就是說我們不知道三個根裡有沒有實根時,
: : 又如何如道虛部可否消掉呢?
: 以前學了一元三次方程式的解法, 從來也沒實際操作過
: 以為公式代進去, 就像二次方程式一樣就解決了
: 現在發現問題很大
: 代公式進去, 通常會出現虛部或是無理數
: 如果要把根的虛部消掉, 或是把無理數化成有理數
: 本身就是一個等價的三次方程式問題
: 比如把根表示為 cosy+isiny, 然後試圖用3倍角公式
: 那麼會跑出一個等價的三次方程式
根本不用3倍角公式
而是用棣美弗定理，將a+bi化為r(cosy+isiny)
[r(cosy+isiny)]^(1/3)=r^(1/3)*(cos(y/3)+isin(y/3)
a-bi同理，結果相加後就能將虛部去掉
例如x^3-63x+162=0的(a+bi)^(1/3)=[-81+30*3^(1/2)]^(1/3)
=[9261^(1/2)*(cosy+isiny)]^(1/3),其中cosy=-9*21^(1/2)/49
siny=10*7^(1/2)/49
=21^(1/2)*(cos(y/3)+isin(y/3))
(a-bi)^(1/3)=21^(1/2)*(cos(y/3)-isin(y/3))
u+v=2*21^(1/2)*cos(y/3)=2*21^(1/2)*cos(arccos(-9*21^(1/2)/49)/3))
可以確定是實數
http://tinyurl.com/bxzhooy
: 也就是說, 其實所謂的三次方程式的公式解
: 只是用另一種方式來表示這個方程式, 仍然不知道根是否是實數等性質
由判別式可得知，簡單說三次實係數方程式必定有一實根
解出u,v，若u,v是實數，u+v是實數，uw+vw^2、uw^2+vw是複數
若u,v是複數(實係數方程式下他們是共軛複數)，則u+v、uw+vw^2、uw^2+vw是實數
: 歷史上說, 塔爾塔里亞因為卡丹偷了他的方法,
: 憤而向卡丹提出挑戰, 比賽解三次方程式, 然後大勝
???
塔爾塔里亞與費洛(第一個宣稱掌握某種類型三次方程式的解法的人)的學生-佛羅雷都斯
比解三次方程式大勝而出名
慕名而來的卡丹磨塔爾塔理亞教他三次方程式解法，後自己研究出書介紹三次方程式解法
(書中宣稱塔爾塔理亞教他方法，卻沒有給出證明，自己卻找到了證明)
塔爾塔里亞宣稱卡丹偷了他的方法而憤而提出挑戰
然而比賽當天出陣的並非卡丹，而是他的學生斐里拉
斐里拉不但掌握三次方程式的全部要領，更發現一般四次方程式的解法
塔爾塔里亞結果是輸了
: 現在看起來, 他幾乎不可能是用他自己發明的這個方法獲勝
: 因為 1. 卡丹同樣知道這個方法
: 2. 這個方法得出的解可能是複數型式, 而當時還沒有複數
: 所以其實數學史上解出一元三次方程式的公式這個成就, 沒有原先我以為的那麼偉大
這個公式的重要性是確立虛數的有其存在必要性
從二次方程式公式解產生的虛數，在當時無法接受複數概念的數學家來說，大可說該方
程式無解
但在三次方程式當中，儘管三根是實數，公式解必然冒出虛數(u,v是複數時有三個實根)，
必須對虛數進行運算才能求出實數解
也因此後來的數學家才建立了複數的概念
: 因為別的數學家可能看出了公式並沒有實用性, 所以追求數值的近似解
: 不過五次以上方程式的公式解問題, 意義就不一樣了.
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