Re: [代數] 關於解一元三次方程式的問題

[ipost (man)]

※ 引述《StellaNe (凍結的大地)》之銘言：
: ※ 引述《ipost (man)》之銘言：
: : 以前學了一元三次方程式的解法, 從來也沒實際操作過
: : 以為公式代進去, 就像二次方程式一樣就解決了
: : 現在發現問題很大
: : 代公式進去, 通常會出現虛部或是無理數
: : 如果要把根的虛部消掉, 或是把無理數化成有理數
: : 本身就是一個等價的三次方程式問題
: : 比如把根表示為 cosy+isiny, 然後試圖用3倍角公式
: : 那麼會跑出一個等價的三次方程式
: 根本不用3倍角公式
: 而是用棣美弗定理，將a+bi化為r(cosy+isiny)
: [r(cosy+isiny)]^(1/3)=r^(1/3)*(cos(y/3)+isin(y/3)
: a-bi同理，結果相加後就能將虛部去掉
: 例如x^3-63x+162=0的(a+bi)^(1/3)=[-81+30*3^(1/2)]^(1/3)
:                       =[9261^(1/2)*(cosy+isiny)]^(1/3),其中cosy=-9*21^(1/2)/49
:                                                            siny=10*7^(1/2)/49
:                       =21^(1/2)*(cos(y/3)+isin(y/3))
:                    (a-bi)^(1/3)=21^(1/2)*(cos(y/3)-isin(y/3))
: u+v=2*21^(1/2)*cos(y/3)=2*21^(1/2)*cos(arccos(-9*21^(1/2)/49)/3))
: 可以確定是實數
: http://tinyurl.com/bxzhooy

這個例子並不需要運算就知道是實數, 我上面不只寫了要把虛部消掉,
而且還寫了"或是把無理數化為有理數", 請再看一次
而上面的回覆中那個cos裡面包含了一個 1/3 角, 本質上就是三次方程式,
靠電腦用數值法解cos(1/3角) 算出 6這個答案, 而不是自己算的,
怎麼可以說根本不必3倍角公式?
我原post就說了可能有些數學家覺得公式無實用性所以追求數值近似解,
不就是和用電腦算同樣的意思?
你可以看一下 wiki
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B
最後那個例子 x^3-15x-4=0
他們說考慮用兩種方法:幾何和代數法把根的複數型式化為實數
但例子的算法本質上就是解三次方程式

實係數的話有判別式可以判斷實根的個數, 這我原本沒考慮到
然而我的原post就是考慮一般情形的演算法

: : 也就是說, 其實所謂的三次方程式的公式解
: : 只是用另一種方式來表示這個方程式, 仍然不知道根是否是實數等性質
: 由判別式可得知，簡單說三次實係數方程式必定有一實根
: 解出u,v，若u,v是實數，u+v是實數，uw+vw^2、uw^2+vw是複數
: 若u,v是複數(實係數方程式下他們是共軛複數)，則u+v、uw+vw^2、uw^2+vw是實數
: : 歷史上說, 塔爾塔里亞因為卡丹偷了他的方法,
: : 憤而向卡丹提出挑戰, 比賽解三次方程式, 然後大勝
: ???
: 塔爾塔里亞與費洛(第一個宣稱掌握某種類型三次方程式的解法的人)的學生-佛羅雷都斯
: 比解三次方程式大勝而出名
: 慕名而來的卡丹磨塔爾塔理亞教他三次方程式解法，後自己研究出書介紹三次方程式解法
: (書中宣稱塔爾塔理亞教他方法，卻沒有給出證明，自己卻找到了證明)
: 塔爾塔里亞宣稱卡丹偷了他的方法而憤而提出挑戰
: 然而比賽當天出陣的並非卡丹，而是他的學生斐里拉
: 斐里拉不但掌握三次方程式的全部要領，更發現一般四次方程式的解法
: 塔爾塔里亞結果是輸了
: : 現在看起來, 他幾乎不可能是用他自己發明的這個方法獲勝
: : 因為 1. 卡丹同樣知道這個方法
: :      2. 這個方法得出的解可能是複數型式, 而當時還沒有複數

誰勝誰負我要再查, 只是憑記憶敍述, 重點是上面寫的第二點, 當時還沒有複數
所以這場比試不可能只是代公式就比完了, 不論誰勝都是面臨一樣的問題

: : 所以其實數學史上解出一元三次方程式的公式這個成就, 沒有原先我以為的那麼偉大
: 這個公式的重要性是確立虛數的有其存在必要性
: 從二次方程式公式解產生的虛數，在當時無法接受複數概念的數學家來說，大可說該方
: 程式無解
: 但在三次方程式當中，儘管三根是實數，公式解必然冒出虛數(u,v是複數時有三個實根)，
: 必須對虛數進行運算才能求出實數解
: 也因此後來的數學家才建立了複數的概念
: : 因為別的數學家可能看出了公式並沒有實用性, 所以追求數值的近似解
: : 不過五次以上方程式的公式解問題, 意義就不一樣了.

引進複數, 是引進了一個方便的符號
然而在這個問題上, 複數沒有自帶的一個新的性質,
所以如果原本要把三次方程式的根的公式加以簡化會有困難,
那麼引進複數本質上還是一樣, 因為所有運算用的性質都還是原來的
所以不論怎麼變花樣, 用三角函數, 幾何, 代數各種方式去玩這個問題
最後還是鬼打牆回到三次方程式本身

而五次以上方程式無四則運算和根式的公式解之證明, 會用到一個新的
5個元素的集合其可能的permutation複雜到不像4個以下元素的集合
這種其實是 combinatorial的概念,
而不只是數本身的性質,
也就是說, 三次方程式的根的公式用實數表示這個問題,
並不只是一個數的性質的問題, 而是很可能是一個 combinatorial的性質
引進複數即使引進數的性質, 對此問題很可能無益,
因此, 不論對錯, 我個人不太想再花時間在這問題上面,
因為那會遇上一些很恐怖的東西,
就當做茶餘飯後試圖對一段數學史做的不太成功的鈎沉.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 221.169.231.152
→ suhorng     :可以讓人重新思考"根式解"是什麼意思
→ suhorng     :二次的因為我們平常太熟悉了沒什麼感覺
→ suhorng     :但二 三 四   >四  在(大學)代數有很好的看法
→ suhorng     :也讓我們從代數來看知道平常用的複數是什麼
→ suhorng     :五次有沒有公式解？沒有根式解 但是說"公式"還是有的
其實我們現在都是以後見之明的觀點, 有了後來的許多數學發展後,
再來看這段歷史爭議, 如果以當時的環境來看,
究竟誰才是第一個解出三次方程式根式解的人?
嚴格來說, 我不認為有唯一的一個
以當時的環境來說, 如果一個三次方程式明明有一個根是有理數,
某人卻宣稱 u^(1/3)+v^(1/3) 是解, 其中 u v 還是當時眾人不了解的複數
必會引起極大爭議
有些人或許想, 至少要能說明 u^(1/3)+v^(1/3)是個有理數,
或者給出近似的數值, 再來發表,
也可能很早就有某些數學家曾有類似的思路, 只是他們比較謹慎,
希望思考得更週延, 因此延後發表, 卻被淹没在歷史塵埃中而沒有留下姓名
而有人搶先發表了, 因此變成了歷史上的"第一人", 這些都不是不可能

※ 編輯: ipost           來自: 221.169.231.152      (05/18 11:53)