※ 引述《ipost (man)》之銘言：
: ※ 引述《StellaNe (凍結的大地)》之銘言：
: : 根本不用3倍角公式
: : 而是用棣美弗定理，將a+bi化為r(cosy+isiny)
: : [r(cosy+isiny)]^(1/3)=r^(1/3)*(cos(y/3)+isin(y/3)
: : a-bi同理，結果相加後就能將虛部去掉
: : 例如x^3-63x+162=0的(a+bi)^(1/3)=[-81+30*3^(1/2)]^(1/3)
: : =[9261^(1/2)*(cosy+isiny)]^(1/3),其中cosy=-9*21^(1/2)/49
: : siny=10*7^(1/2)/49
: : =21^(1/2)*(cos(y/3)+isin(y/3))
: : (a-bi)^(1/3)=21^(1/2)*(cos(y/3)-isin(y/3))
: : u+v=2*21^(1/2)*cos(y/3)=2*21^(1/2)*cos(arccos(-9*21^(1/2)/49)/3))
: : 可以確定是實數
: : http://tinyurl.com/bxzhooy
: 這個例子並不需要運算就知道是實數, 我上面不只寫了要把虛部消掉,
: 而且還寫了"或是把無理數化為有理數", 請再看一次
: 而上面的回覆中那個cos裡面包含了一個 1/3 角, 本質上就是三次方程式,
: 靠電腦用數值法解cos(1/3角) 算出 6這個答案, 而不是自己算的,
: 怎麼可以說根本不必3倍角公式?
你原post說用3倍角公式會導出一個等價三次方程式
亦即3倍角公式對解方程式毫無助益
在原第一post所提的問題是如何將虛部消掉
我提出用棣美弗定理對複數進行運算可以消掉
在原第二post寫出解決"虛數或無理數"我認為當時原PO虛數部分的問題尚未解決
因此回答解決虛數的方法
:也就是說, 其實所謂的三次方程式的公式解
:只是用另一種方式來表示這個方程式, 仍然不知道根是否是實數等性質
這是我所回答的，透過運算可以確定根是實數(儘管答案包含正反三角函數)
判別式只不過是歸納出的性質
: 我原post就說了可能有些數學家覺得公式無實用性所以追求數值近似解,
: 不就是和用電腦算同樣的意思?
我理解的數值近似解係指讓電腦算是指對於高次方程式(三次或五次以上)不運用公式解
而改以勘根、二分逼近法等去接近根的數值
但公式解實際上是給出一個確定的數2*21^(1/2)*cos(arccos(-9*21^(1/2)/49)/3))
雖然我們要靠電腦算才知道他等價於6
就像x^2=2我們解出其中一個根是2^(1/2)，也是一個確定的數，實際數值是1.414...zzzz
至於cos(1/3角)，前面提過用三倍角會導出等價三次方程式
所以算cos(1/3角)所用到的方法應以其他方法，如正反三角函數的泰勒展開式求出
而不會像原post所說的在三次方程式中鬼打牆
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◆ From: 49.212.48.199
再補充下，所謂三倍角公式運用到的地方，是在將解出的根如x=a*cos[(arccos b)/3]
代回原三次方程式，利用三倍角恆等式，cos,arccos相消化簡證得原式=0
所以說原po說用三倍角公式解cos(1/3角)無異於做出將根代回原方程式的一樣的動作
推出等價方程式是不意外的結果
因而才認定三次方程式公式解會鬼打牆回到三次方程式
要說解決形如2*21^(1/2)*cos(arccos(-9*21^(1/2)/49)/3))=6所仰賴的只能是
我們所掌握的有限特別角數值
從x^n=1的n個根是形如 cos(x)+isin(x)的複數就曉得，在高次方程式的解必然帶有三角
函數，如x^3=1 其中一根是x=cos(pi/3)+isin(pi/3)
恰巧pi/3是特別角而知x=(-1+3^(1/2))/2 (雖說可由x^2+x+1=0求出)
※ 編輯: StellaNe 來自: 49.212.48.199 (05/17 18:47)