作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
標題Re: [微積 求解惑derivative of parametric equation
時間Fri May 17 17:41:00 2013
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 標題: Re: [微積 求解惑derivative of parametric equation
: 時間: Thu May 16 13:24:52 2013
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: 藉此問題一問。
: 2x^2-2 =0 , 左右 d/dx , 得 4x = 0 <=> x=0 ，可是跟原本的 x=+-1 的解不一樣，
: 所以我們想， y^2 = 3x -1 左右同取 d/dx 的隱微分 為什麼不會改變它的結構呢..?
: 也就是 d(y^2)/dx = d(3x-1)/dx 左右同取 d/dx 的根據何在...?
: 蠻奇怪的
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: → alfadick :上次那個解決了，恆等式問題，可是隱微分地方沒解決 05/16 13:26
: → alfadick :再把" 2x^2-2=0 左右對x微分"拿來講一次 05/16 13:27
: → alfadick :是為了凸顯第二個問題 05/16 13:27
: → Vulpix :x沒有一個以上的維度，所以不能當自變數來"對x微分" 05/16 13:29
: → Vulpix :我用這個說法吧：把x視為x(t)，然後我們得到恆等式： 05/16 13:30
: → alfadick :微積分課本隱微分就是 y^2 = 4x+1 這種左右對x微分耶 05/16 13:30
: → Vulpix :2x(t)^2-2=0, for all t。等式兩邊對t微分，得 05/16 13:30
: → Vulpix :4xx'=0，但是因為2x^2-2=0，所以x不可能是0，故x'=0 05/16 13:31
: → Vulpix :你把圖形畫出來看看...x根本不能自由改變數值... 05/16 13:32
: → Vulpix :總共只有兩個點是要怎麼改變x啊，連微分的定義都不能 05/16 13:32
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: 對啊，所以 Y^2 = 3X +1 這種例子，為什麼可以左右一起 D/DX?
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: 他根本不是恆等式之類
: ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.10.79 (05/16 13:33)
: → Vulpix :寫。x+h根本沒有符合|h|<1的h。 05/16 13:33
: ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.10.79 (05/16 13:34)
: → Vulpix :因為x可以變化啊...這圖形上的每一點，附近都還有 05/16 13:34
: → Vulpix :不同的x。 05/16 13:35
: → alfadick :可是不是所有的R呀.... 05/16 13:35
: → alfadick :談不上恆等式而言 05/16 13:35
: → Vulpix :這是恆等式，在這個方程式的圖形上是恆等式。 05/16 13:35
: → alfadick :就我看來, y^2=3x-1 和 2x^2-2=0 都是同一回事... 05/16 13:35
: → alfadick :2x^2-2x-1=2x^2-2x-1, 左右 d/dx 我倒是欣然接受 05/16 13:36
: → Vulpix :他們確實很像，但是最明顯的差異就是x能不能 05/16 13:37
: → Vulpix :"改變一點點" 05/16 13:37
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: 我真的覺得這兩個傢伙本質根本一樣...
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: http://ppt.cc/ullt
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: 1. X都不是所有的R
: 2. 都不是函數圖型
: 3. 都不是恆等式
: ※ 編輯: alfadick 來自: 114.25.10.79 (05/16 13:40)
1. x 不用到所有的實數。要微分的話，只要有附近的實數就夠了。
2. 嗯，都不是函數圖形。但還是一樣，要微分的話，只要附近能當成函數就夠了。
3. 在 xy平面上不是恆等式。但是 y^2=3x-1 在那條紫色拋物線上是恆等式。
第 2 點是發生差異最大的地方。
藍色圖形不管是哪一部分，都不能把 y 當成 x 的函數看待。
而紫色圖形只有一點 (1/3,0) 附近不行，其他點附近都可以。
實際上你可以去算算看：
在 x 只能是 1,-1 的時候，用ε-δ定義去算 2x^2-2 的導數分別是多少。
（我算的結果是：什麼都可以，都滿足定義。雖然看起來怪怪的，但這應該是真的。）
x below is always in the domain; i.e., in {-1,1}.
For all ε>0, there exists δ>0, such that whenever 0<|x-1|<δ, "..."<ε.
"..." 是你知道的東西，為了一行打完，我就不寫出來了。
因為當 δ=1 的時候，沒有任何一個 x 在 0<|x-1|<δ 這個範圍內，
所以 "such that" 後面那一串是真的，不管那個導數是什麼都對。
同樣的道理，等號右邊的導數（即 0 的導數）的計算跟剛剛一樣，
除了 "..." 的內容不同，所以 0 的導數也是隨便什麼數都行。
所以我們兩邊都取導數的結果是：不定型=不定型，好像也沒什麼不對XD。
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◆ From: 1.162.44.30
→ Vulpix :發現：當 x 的定義域 discrete，x→a 是很沒意義的。 05/17 17:50
→ Vulpix :因為對解決問題一點幫助都沒有（茶）。 05/17 17:51
推 alfadick :感恩~想到一些東西，晚點打上來~ 05/17 18:53
推 alfadick :可以把f(x,y)=0寫成好幾個y=f(x)的型式,ex:x^2+y^2=1 05/18 09:00
→ alfadick :可以拆成兩個f(x,y)=0, 其中一個是 y=-sqrt{1-x^2} 05/18 09:01
→ alfadick :把拆開的每個y=f(x)的domain define好(ex [-1,1]) 05/18 09:01
→ alfadick :則y=-sqrt{1-x^2}在該定義域範圍內,視y跟右側為恆等 05/18 09:03
→ alfadick :式.Thus, 左右兩邊一起 d/dx 當然沒問題 05/18 09:03
→ alfadick :for another ex: y^2=2x-1 05/18 09:04
→ alfadick :其中一個f(x,y)=0, 左右d/dx 05/18 09:04
→ alfadick :2y (dy1/dx) = 2 05/18 09:05
→ alfadick :另外一個y=f2(x)，同樣步驟： 2y (dy/dx)=2 05/18 09:06
→ alfadick :兩個y=f1(x)和y=f2(x)並不相同, 即dy/dx均不同 05/18 09:06
→ alfadick :以下不細說了，就是把點(x,y)帶進隱微分式 05/18 09:07
→ alfadick :怎麼取y=f(x)結果好巧不巧都一樣，得證。 05/18 09:07