[微積] x^(x)作微分

[pigheadthree (爬山)]

題目：f(x)= x^(x)，請求解f'(x)

答案：[x^(x)]*[1+lnx]

小弟的想法：

(解法一)

設 y=x^(x) 採對數解

lny = ln[x^(x)]

(d/dx)lny=(d/dx)ln[x^(x)]

y'/y = (d/dx)x*lnx

y'/y = 1*lnx + x*(1/x)

y'/y=(1+lnx)

y'=(1+lnx)*y

y'=f'(x)=[x^(x)]*(1+lnx)

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(解法二)

e^(lnx) = x

x^(x) = [e^(lnx)]^(x)

(d/dx)*[e^(lnx)]^(x)

= (d/dx)e^(xlnx)

= [e^(xlnx)]*(d/dx)(xlnx)

= [e^(xlnx)]*[1*lnx+x*(1/x)]

= [e^(xlnx)]*(lnx+1)

= [e^(xlnx)]*(1+lnx)

= [x^(x)]*(1+lnx)




以上為小弟的解法，雖然答案一樣，但是不太清楚自己的計算過程是否有錯誤，

麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.224.69.74
推 t0444564    :看起來兩者都沒問題(事實上這兩者都是這題的好方法)
→ pigheadthree:謝謝！
→ yhliu       :實際上可以說兩者根本是同一種方法.
推 znmkhxrw    :可是就邏輯來講第一個解法不好
推 newversion  :有興趣可算算 f''(0) f'''(0) = ?
推 profyang    :第二種方法比較好...還有樓上 f(0)都沒定義了 要重新
→ profyang    :把f(x)定義成連續函數才行
→ profyang    :解法二直接寫x^x=exp(ln(x^x))=exp(xln(x))就好
→ profyang    :總覺得你過程太詳細了XDD不是不好 但看了有點煩XDD
推 Scape       :f'(0)怎麼算我很好奇，new大可以講一下嗎?
推 newversion  :可透過羅必達法或MVT證得 f'(0) = lim x->0 f'(x)
→ newversion  :所以 f'(0) = 1
推 yuyumagic424:樓上觀念既錯計算也錯
推 newversion  :抱歉，我眼殘，看錯題目了，我指的 f=(1+x)^(1/x)
→ newversion  :f(0)=e 補洞讓f在x=0連續 然後 f'(0) 嚴格寫 =
→ newversion  :lim x->0 f'(c)  c 介於 0和x 間
→ sneak       : 第二種方法比較好... https://daxiv.com
→ sneak       : 可是就邏輯來講第一個解 http://yofuk.com
→ muxiv       : 第二種方法比較好... https://muxiv.com