推 subtropical :感謝您！ 05/24 03:41
※ 引述《LuisSantos (但願真的能夠實現願望)》之銘言：
: ※ 引述《subtropical (風大雨大)》之銘言：
: : 求極限
: : 一開始覺得用羅畢達就可解 但似乎還需要一點技巧
: : 1.
: : lim [ log(1+x+x^2) - x ] / x^2
: : x->0
: : 2.
: : lim [ 1/(x-1)^2 ]*[ int root(1+cos(pi*t))dt ]
: : x->1+ 1 to x
: ln(1+x+x^2) - x
: 1. lim -----------------
: x→0 x^2
: 1 + 2x
: --------- - 1
: 1+x+x^2
: = lim ----------------
: x→0 2x
: x - x^2
: = lim --------------------
: x→0 (1 + x + x^2)(2x)
: (x)(1 - x)
: = lim ------------------
: x→0 (2x)(1 + x + x^2)
: 1 - x 1
: = lim ---------------- = ---
: x→0 2(1 + x + x^2) 2
2
1 - tan (πt/2)
cos(πt) = -------------------
2
1 + tan (πt/2)
x x
∫ √(1 + cos(πt)) dt ∫ √(1 + cos(πt)) dt
1 1 1
2. lim ------------------------ = lim ------------------------ * lim ------
x->1+ 2 x->1+ (x - 1) x->1+ (x-1)
(x - 1)
運用微積分基本定理可知
= lim √(1 + cos(πx)) * 1/ 2(x-1) = lim √(2 cos^2 (πx/2)) * 1/ 2(x-1)
x->1+ x->1+
cos(πx/2) 羅 -πsin(πx/2)
= √2 lim -------------- = √2 lim ----------------- = √2 π/4
x->1+ 2(x-1) x->1+ 2 * 2
判斷正負,可知為正 ∴Ans = √2 π/4
附: ∫√(1 + cos(πt)) dt = ∫√(2 cos^2 (πt/2)) dt = √2∫cos(πt/2) dt
2√2 πt
= ------ sin -----
π 2
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肝不好 ▁▁ ● ◤ 肝若好
人生是黑白的 ▏ ◤ 考卷是空白的
▏ ◤ 、 ﹐
● ●b 囧 ▎ ●> ● ◤ ▌ ﹍﹍ ０ ▊囧＞ 幹...
▲ ■┘ ■ ▎ ■ █◤ ▌ ㄏ▋ ︶■
〈﹀ ∥ ▁▁∥ ▎ ﹀〉◤ ▋ ▊ 〈\ ψcockroach727
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