[微積] 自然指數積分

[pigheadthree (爬山)]

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題目：∫ {[e^(x)]/[1-e^(x)]}dx
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答案：-ln[1-e^(x)] |  = ln[1/1+e]
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小弟根本無法下筆，不知道該如何解，麻煩版上前輩們指導，謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.35.30.78
→ APM99       :變數變換    另 y = e^x
推 APM99       :或者把分母令成y  試試吧
推 j0958322080 :y=1-e^x
設 y=e^(x)

dy = e^(x)*dx

 2                        e^(2)              e^(2)
∫{e^(x)/[1-e^(x)]}dx = ∫     [1/(1-y)]dy =∫    [1*(1-y)^(-1)]dy
 1                        e                  e

再來該怎麼解???


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設y=1-e^(x)

dy = -e^(x)*dx

 2                     1-e^(2)                  1-e^(2)
∫{e^(x)/1-e^(x)}dx = ∫       (-1/y)dy = -lny |
 1                     1-e                      1-e


= -ln[1-e^(2)]-{-ln[1-e]} = -ln[1-e^(2)]+ln[1-e]=ln[1-e]-ln[1-e^(2)]

=ln{(1-e)/[1-e^(2)]}=ln{(1-e)/[(1-e)*(1+e)]}=ln[1/(1+e)]


解出來了！
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設 y=e^(x) 好像不能解

設 y=1-e^(x) 才有解法
※ 編輯: pigheadthree    來自: 114.35.30.78         (05/26 19:46)
推 APM99       :第一種也是能解阿  很明顯可以在變數變換一次
→ APM99       :令 1-y =z
設 u=1-y

du = -dy

 1-e^(2)                1-e^(2)
∫   -(1/u) du = -ln(u)|        = -ln[1-e^(2)]-[-ln{(1-e)]
 1-e                    1-e

=ln(1-e)/[(1-e)*(1+e)] =ln[1/(1+e)]

→ suhorng     :suker的回文就是你說不能解的那個@@
→ suker       :y=e^(x) 也可以解 只是要小心變號
※ 編輯: pigheadthree    來自: 114.35.30.78         (05/26 21:26)
→ suhorng     :u=1-y => du=-dy
謝謝前輩的指導，已經修正。
※ 編輯: pigheadthree    來自: 114.35.30.78         (05/26 21:42)
→ kittor      :直接把e^xdx想成-d(1-e^x),就可以換成ln了