Re: [機統] 訊號合併的準確機率

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

※ 引述《Casval (卡斯巴爾)》之銘言：
: 假設有一地震預測儀A的準確率是0.3，
: 另一台機器B的準確率是0.2，
: 若某日AB兩台機器皆發出訊號，
: 請問地震發生的機率為何？

將事件表記如下：

Q  地震
A  儀器 A 作出預測
B  儀器 B 作出預測



根據題目的條件，假設：

P(Q|A) = 0.3
P(Q|B) = 0.2



另外假設：

P(A|Q) = P(B|Q) = 1

就是說機器只會誤報，不會漏報。如果機器會漏報，那至少還要給漏報的機率。




當兩台機器都預測地震時，實際上地震的機率是  P(Q|AB)。

Bayesian stat. 是你的好朋友：

P(Q|AB) = P(AB|Q) P(Q) / P(AB)                      (1)


左邊是我們想要的機率，而右邊有三項。


P(AB|Q) = 1   因為機器不會漏報。

P(Q)    　　　發生地震的機率。因為題目沒有給這個，所以其實是算不出來答案的。

P(AB)         不管有沒有地震都好，A 和 B 同時給出預測的機率。





假如有地震的話，A 和 B 一定都會給出預測。假如沒有地震，它們也還有一定
機率誤報。所以我們需要知道誤報機率  P(A|!Q), P(B|!Q)


Bayesian 再一次：


P(A|!Q) = P(!Q|A) P(A) / P(!Q)

        = [1 - P(Q|A)] P(A) / (1- P(Q))                         (2)


P(A) 是不管有沒有地震，A 發出預報的機率。所以


P(A) = P(Q) P(A|Q) + P(!Q) P(A|!Q)

     = P(Q) + [1 - P(Q)] P(A|!Q)                                (3)




把 (3) 代進 (2)，得到 P(A|!Q) 的方程式，可以解得


P(A|!Q) =       P(Q)       1 - P(Q|A)
            -----------   ------------                   (4)
              1 - P(Q)       P(Q|A)


同理得到

P(B|!Q) =       P(Q)       1 - P(Q|B)
            -----------   ------------                   (5)
              1 - P(Q)       P(Q|B)




所以 A, B 同時給出預報的機率是

P(AB) = P(A|Q) P(B|Q) P(Q) + P(A|!Q) P(B|!Q) P(!Q)

      = P(Q) + P(A|!Q) P(B|!Q) [1 - P(Q)]                (6)




把 (4), (5), (6) 代進 (1)，最後得到



P(Q|AB) =                        P(Q|A) P(Q/B)
            ---------------------------------------------------------------
              P(Q|A) P(Q|B)  + [1 - P(Q|A)] [1 - P(Q|B)] P(Q) / [1 - P(Q)]



        =              0.06
          ---------------------------------
            0.06 + 0.56  P(Q) / [1 - P(Q)]






唔...我覺得有哪裡做錯了。因為

P(Q|AB)  -->  0           P(Q) --> 1
              1           P(Q) --> 0

所以地震機率很大的時候，兩台儀器一起響，反而一定是誤報？




--edit--

如果地震很頻繁的話，單一儀器的誤報機率更要突破天際才能把準確率拉回來。

所以上面這個結果好像也還說得過去？

--edit--



不過重點是 P(Q) 一定要給啦，不然算不出來的。



--edit2--

P(Q) 其實有個上限。


因為 B 每五次預報有四次是誤報，代表地震的機率不能高過 1/5，
不然根本沒有那麼多機會讓它誤報。

同樣的道理，A 的誤報率要求地震機率不超過 30%。不過這個上限比 B 的
要來得寬鬆，所以沒有意義。



把 P(Q) = 1/5 代進答案，可以得到　　P(Q|AB) = 0.3 = P(Q|A)

這時 B 不管有沒有地震反正整天吵個不停，所以只要看 A 就好。



若 P(Q) < 1/5，則 P(Q|AB) 也會變大。


--edit2--


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.110.216.243
※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.216.243      (05/27 23:39)
※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.216.243      (05/28 00:14)
→ Casval      :感謝詳解，我也覺得B很可能只是A的subset.. ^^
推 Casval      :所以只要看 A 就好 ^^
不不，那只是 P(Q) = 1/5 的特殊情況。


※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.216.243      (05/28 16:31)
推 Casval      :嗯嗯謝謝~不過P(Q)如果知道的話，也不用機器了吧？
大樂透的中獎機率是公開的。如果有個報明牌的方法比瞎猜準確，你說有沒有用？

※ 編輯: wohtp           來自: 123.110.216.243      (05/30 01:33)