Re: [微積] 分部積分

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《nelsonchen (nelson)》之銘言：
: 題目：∫x*sin(x)*dx
:      = x*(-cosx)-∫(-cosx)*dx + c
:          -------   ----------
:           ↑           ↑
:       這裡已經       為什麼這裡
:       積分過一次了   還要再積分一次呢？
: 只是單純的分部積分公式使用方式，
: 還是有其它的定理存在呢？
: 麻煩版上前輩們不吝嗇指導，謝謝！

分部積分的由來
是從積形式的微分 反推而成

let f=f(x), g=g(x)

d(fg) = fdg + gdf (口訣： 積的微分=微後乘前+微前乘後)

兩端積分得

                ∫d(fg) +c* = ∫fdg + ∫gdf

                    fg  +c* = ∫fdg + ∫gdf
移項得
                      ∫fdg = fg - ∫gdf +c*

又
                        df
                 f' = ─── => df =f' dx
                        dx

同理得

                 dg = g'dx

代回得

                 ∫fg'dx = fg - ∫gf'dx +c*


以上 就是分部積分法公式由來
至於 怎麼使用

以 ∫xsin(x)dx為例

找出f與g'，其中 f為容易微分項，且微分盡量為有限項者

                g'為容易積分項

此題來講，x與sin(x)都是容易微分容易積分

但 x微分為有限項
   sin(x)微分是無限項

故

   取 f=x, f' =1

   取 g'=sin(x), g=-cos(x)

代回公式得

           ∫xsin(x)dx = -xcos(x)-∫-cos(x)dx +c*

                       = -xcos(x) +sin(x) +c 為解



以上 就是利用分部積分法解的例題
部分分式法的進階運用：合併法與表格法
有機會再介紹囉 >.^

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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.103.131
推 craig100    :中文翻譯好像是分部積分@@ 部分分式是Fractional int
對= =" 因為部分分式法在Heavisde覆蓋法用太多遍了
所以對這名詞比較熟悉
誤植了 >_<
推 herstein    :分部積分XD
推 Frobenius   :部分分式XD
※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.98.77        (05/31 07:38)
→ akrsw       :回應一樓：部分分式應該是 partial fraction 吧？