※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: ※ 引述《herstein (暈~~)》之銘言：
: : 標題: Re: [微積] 有什麼微積分的資源麼?
: : 時間: Tue May 28 19:33:28 2013
: : 基本上dx,dy,ds都可以形式上把他當變數來處理。
: : ds^2=dx^2+dy^2+dz^2
: : 真正的意義是
: : (ds/dt)^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2
: : 而dy=f'(x)dx只是dy/dx=f'(x)的方便符號。
: : 如果你不嫌麻煩，你可以每次都把dy=f'(x)dx寫成dy/dx=f'(x)。
: : 你那些符號移來移去其實就是一個變數變換的過程而已(或微分連鎖律)。
: : 線積分
: : ∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy (**)
: : 的實際意義是:
: 追問兩問題如下：
: http://ppt.cc/RLSI
: 因為符號太雜 就不打在bbs上了
: 補充, 會下此推論根據是來自 "弧長= integral 1 ds = integral sqrt{1+f'(x)^2} dx "
: 左右兩邊一起把 integral 消掉而得.
: (↑ 因為可以左右同取積分符號(見上一篇分部積分教學)了,
: 一起拿掉積分符號應該也可.
: 期末在即，亟需理解，太嚴謹的理論得等高微/微幾，
: 但就初微可以解釋的地方，想驗證對錯。
: ds的s, 是指弧長, 但是是指s(t)還是s(x)? 有夠複雜
我大概知道你的問題在哪裡了，我試著解釋這件事給你聽。
首先，如果你有一條curve，你可以沿著這條curve選一個參數。這裡是假設這個參數為t
因此你的curve可以寫成 (x(t),y(t))，
定義弧長為：integral \sqrt(x'^2(t)+y'^2(t))dt
特別的，如果你取的參數t夠好，那你可以假設\sqrt(x'^2(t)+y'^2(t))=1
這種"特殊的"參數t我們把它叫做s。所以弧長= integral 1 ds
所以我們這邊需要證明一件事：弧長與選取參數無關。這件事你可以直接用變數變換來證
譬如說我們把 t 換成另一個參數 h，t=t(h)那麼
integral \sqrt(x'^2(t)+y'^2(t))dt
= integral \sqrt(dx/dh^2(h)+dy/dh^2(h)) dh/dt dt
= integral \sqrt(dx/dh^2(h)+dy/dh^2(h)) dh
(這裡我假設我們取的兩參數方向是相同的。dh/dt>0)
好，既然弧長無關於參數選取，那如果curve本身可以寫成一個一次可微函數 (x, f(x))，
那我乾脆選參數為 x。此時：
integral \sqrt(dx/dx^2(x)+dy/dx^2(x)) dx = integral \sqrt(1+f'(x)^2)dx
就是你要的弧長。
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