[線代]矩陣數列的收斂問題

[linshihhua (linshihhua)]

令P為所有的Hermitian positive definite matrices的集合

假設有一個矩陣列{An}，An in P

則我們知道每個An都是可逆的

而且對每個An，都存在唯一的Bn in P

使得(Bn)^2=An，稱Bn為An的square root

現在假設已知An收斂A  其中A in P

且A的square root為B

想請問有辦法證明

(An)^-1會收斂到A^-1且Bn會收斂到B嗎?

另外

假設有一個 map f:P^k->P

滿足

若{Ain}是遞減數列且收斂到Ai 對所有的i從1到k

則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞減收斂到f(A1,A2,...,Ak)

想請問有辦法證明說

只要{Ain}是收斂到Ai 對所有的i從1到k

則f(A1n,A2n,...,Akn)就會收斂到f(A1,A2,...,Ak)嗎?

非常感謝大家

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◆ From: 1.165.186.164
→ Vulpix      :你先定義一下你的"收斂"吧，作法會因為收斂方法不同
→ Vulpix      :而有一點點差異(主要是速度的問題吧)。
→ linshihhua  :但是有限維的向量空間所有的norm不是都等價嗎?
→ linshihhua  :因為不考慮速度 只考慮會不會收斂到不同的點
→ Vulpix      :另外那一個問題啊，k=1的時候就已經有反例了。
→ Vulpix      :f取高斯函數就不對了。
→ Vulpix      :我所謂"速度"是指證明的速度，抱歉沒說清楚。
→ Vulpix      :前兩個問題答案都是Yes。
→ Vulpix      :Inv這個函數的"明確表示"我想你應該是知道的，那裡面
→ Vulpix      :不管是det(An)還是其他cofactor，全部都連續。
→ Vulpix      :Sqrt應該也可以寫出來的，這種"直接證明"做做也挺好
→ Vulpix      :玩兒XD
→ sneak       : 前兩個問題答案都是Ye https://daxiv.com
→ sneak       : 前兩個問題答案都是Ye http://yofuk.com
→ muxiv       : 而有一點點差異(主要是 http://yofuk.com