Re: [微積] 積分題目

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《BeMgCaSrBaRa (鈹鎂鈣鍶鋇鐳)》之銘言：
: 不好意思再問兩個積分題目 一開始就不知道怎麼下手... 感覺很需要技巧
:      log (x+2)
:   2     2
: ∫  ----------- dx
:   0     x+2
:         -1
:      sin  (x)
:    e
: ∫------------ dx
:    √(1-x^2)

Q1:

let u =x+2 , du=dx

x │ 0│ 2
─┼─┼─
u │ 2│ 4

             ln(x+2)
log (x+2) = ──── (換底公式)
   2         ln(2)

 2  log[(x+2),2]       2   ln(x+2)          1   4  lnu
∫  ────── dx = ∫  ─────dx = ───∫ ─── du
 0    x+2              0  (x+2)ln(2)      ln(2) 2   u


By integration by parts(分部積分)


we could get
                ln(u)                        ln(u)
             ∫──── du = [ln(u)]^2 - ∫ ─── du +c*
                  u                            u

                ln(u)
            2∫──── du = [ln(u)]^2 +c*
                  u

                ln(u)
             ∫──── du = 0.5 [ln(u)]^2 +c
                  u

so
     1     4  ln(u)         1                  │u=4
   ─── ∫ ─── du = ─── * 0.5[ln(u)]^2 │
    ln(2)  2    u         ln(2)                │u=2

                           1
                       = ───{[ln(4)]^2 - [ln(2)]^2}
                         2ln(2)


Q2:
                            1
let u=arcsin(x) , du = ────── dx
                       sqrt(1-x^2)

  exp[arcsin(x)]
∫─────── dx = ∫exp(u)du = exp(u) +c = exp[arcsin(x)] +c
   sqrt(1-x^2)

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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside

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→ BeMgCaSrBaRa:感恩