→ BaBi :原來是指這個... 06/02 10:44
→ Vulpix :其實還是沒有瑕疵的吧...那個解答有給理由啊： 06/02 13:38
→ Vulpix :0 ≦ ξ ≦ 1 只是沒有寫得很明確 06/02 13:39
※ 引述《BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)》之銘言：
: 標題: [分析]
: 時間: Sat Jun 1 23:57:58 2013
:
:
: 1 x^n
: Prove lim ∫ ----------------- dx = 0
: n->∞ 0 sqrt( 1 + x^2 )
:
:
: 勒貝格控制收斂的樣子？
: 看到一本書上用積分均值, 但有人反映說是錯解...
:
: 不太清楚積分均值在哪裡出問題了,
: 請問有人能解答一下嗎?
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 114.46.145.9
: 推 r4553280 :請問積分範圍是?? 06/01 23:59
:
: 已補上, 不好意思, 剛剛漏掉了...
:
: → suhorng :均值定理得到裡面某點 [ξ(n)]^n/√(1+ξ(n)^2) 06/02 00:18
: → suhorng :滿足 0 < ξ(n) < 1.. 然後該怎麼弄的說@@ 06/02 00:18
:
: 補一下該本書上解答好了
:
: 1
: ∵ x^n > 0, 且 ---------------- in [0,1]
: sqrt( 1 + x^2 )
:
: 1 x^n 1 1
: ∴ 0 < ∫ ---------------- dx = ----------------- ∫ x^n dx
: 0 sqrt( 1 + x^2 ) sqrt( 1 + ξ^2 ) 0
:
: 1 1
: = ----------------- ×-------
: sqrt( 1 + ξ^2 ) n + 1
:
: 1 1
: ∵ 0 ≦ ξ ≦ 1, ∴ 原式 = lim ----------------- ×-------
: n->∞ sqrt( 1 + ξ^2 ) n + 1
:
:
: = 0
: ※ 編輯: BaBi 來自: 114.46.145.9 (06/02 00:30)
: → Vulpix :嗯...很難確認[ξ(n)]^n會趨近於0 06/02 00:28
: 推 newversion :x^n/sqrt(1+1) <= x^n/sqrt(1+x^2) <= x^n 06/02 00:31
: → suhorng :原來如此 感覺滿對的 06/02 00:55
: → BaBi :所以很納悶不知道是哪邊有瑕疵Orz 06/02 00:57
講到瑕疵，應該是 ξ 不是一個定值，不同的n會找到不同的ξ
所以 n->∞ ， ξ 會跳動 ，應該要用這樣的關係式
1 1 1 1
-------< ----------------- ×------- < -------
sqrt(2) sqrt( 1 + ξ^2 ) n + 1 n + 1
類似的情形，在 FTC的證明也有
x+h
∫f(x) dx
x
lim ---------- = lim f(ξ) = f(x) , 某個ξ介於 x和x+h 間
h->0 h h->0
這個證法，也是有瑕疵的， ξ同樣在 x和x+h 間跳動
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◆ From: 140.112.251.86