作者linshihhua (linshihhua)
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標題Re: [線代]矩陣數列的收斂問題
時間Mon Jun 3 15:17:03 2013
※ 引述《linshihhua (linshihhua)》之銘言：
: 標題: [線代]矩陣數列的收斂問題
: 時間: Sat Jun 1 13:59:42 2013
:
: 令P為所有的Hermitian positive definite matrices的集合
:
: 假設有一個矩陣列{An}，An in P
:
: 則我們知道每個An都是可逆的
:
: 而且對每個An，都存在唯一的Bn in P
:
: 使得(Bn)^2=An，稱Bn為An的square root
:
: 現在假設已知An收斂A 其中A in P
:
: 且A的square root為B
:
: 想請問有辦法證明
:
: (An)^-1會收斂到A^-1且Bn會收斂到B嗎?
:
: 另外
:
: 假設有一個 map f:P^k->P
:
: 滿足
:
: 若{Ain}是遞減數列且收斂到Ai 對所有的i從1到k
:
: 則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞減收斂到f(A1,A2,...,Ak)
:
: 想請問有辦法證明說
:
: 只要{Ain}是收斂到Ai 對所有的i從1到k
:
: 則f(A1n,A2n,...,Akn)就會收斂到f(A1,A2,...,Ak)嗎?
:
: 非常感謝大家
:
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: ◆ From: 1.165.186.164
: → Vulpix :你先定義一下你的"收斂"吧，作法會因為收斂方法不同 06/01 14:18
: → Vulpix :而有一點點差異(主要是速度的問題吧)。 06/01 14:18
: → linshihhua :但是有限維的向量空間所有的norm不是都等價嗎? 06/01 14:21
: → linshihhua :因為不考慮速度 只考慮會不會收斂到不同的點 06/01 14:22
: → Vulpix :另外那一個問題啊，k=1的時候就已經有反例了。 06/01 14:25
: → Vulpix :f取高斯函數就不對了。 06/01 14:25
: → Vulpix :我所謂"速度"是指證明的速度，抱歉沒說清楚。 06/01 14:26
: → Vulpix :前兩個問題答案都是Yes。 06/01 14:28
: → Vulpix :Inv這個函數的"明確表示"我想你應該是知道的，那裡面 06/01 14:30
: → Vulpix :不管是det(An)還是其他cofactor，全部都連續。 06/01 14:30
: → Vulpix :Sqrt應該也可以寫出來的，這種"直接證明"做做也挺好 06/01 14:35
: → Vulpix :玩兒XD 06/01 14:35
謝謝你的幫忙
第一個問題我大概了解了
第二個問題我嘗試用norm去說明收斂但目前還沒想出來
第三個問題
其實原本應該是兩個條件
就是
若{Ain}是遞減且收斂到Ai 對所有的i從1到k
則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞減收斂到f(A1,A2,...,Ak)
和
f((A1n)^-1,(A2n)^-1,...,(Akn)^-1)=(f(A1,A2,...,Ak))^-1
有這兩個條件就可以得到
若{Ain}是遞增且收斂到Ai 對所有的i從1到k
則f(A1n,A2n,...,Akn)會遞增收斂到f(A1,A2,...,Ak)
所以想請問如果再加上遞增也會收斂的這個條件的話
可以得出說
只要{Ain}是收斂到Ai 對所有的i從1到k
:
: 則f(A1n,A2n,...,Akn)就會收斂到f(A1,A2,...,Ak)嗎?
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◆ From: 140.128.127.91
→ Vulpix :如果是chi_[0,inf)呢？0沒辦法當作遞增的極限吧。 06/03 16:22
→ linshihhua :抱歉 我不太懂你的意思?? 06/03 16:33
→ Vulpix :我說的是 f(x)=0(x<0) or 1(x>=0) 這個函數呢？ 06/03 16:43
→ linshihhua :但是我的是從P^k->P的函數 所以應該沒有0或負的情況 06/03 16:52
→ Vulpix :抱歉沒注意到... 06/03 17:12
→ Vulpix :exp應該是從{Hermitian matrix}到P的bijection吧 06/04 16:26
→ Vulpix :用這個就可以解決前兩個問題了 06/04 16:27
→ Vulpix :第三個問題跟證明實數完備性的過程應該很像 06/04 19:06
→ Vulpix :我認為應該是對的，就算是錯的可以從那個證明找到 06/04 19:06
→ Vulpix :反例的靈感才對 06/04 19:07
→ linshihhua :是說找到一個Hermitian matrix的數列用exp map對應 06/04 23:37
→ linshihhua :請問是找兩個Hermitian matrix矩陣列使得exp對應 06/04 23:39
→ linshihhua :過去分別是A_n和B_n，然後去證明兩個Hermitian 06/04 23:40
→ linshihhua :matrix 矩陣列都會收斂所要的matrix嗎 06/04 23:41