Re: [線代] 一個極大無關組的定理

[ERT312 (312)]

※ 引述《honsan (honsan)》之銘言：
: 定理出自三人本線性代數 sec1.7
:   Theorem 1.13. Let S be a linearly independent subset of a vector space V.
: There exist a maximal linearly independent subset of V that contains S.
: 設F={W:W is a linear independent set of V that contains S.}
: 證明：
: 根據maximal pricinple：若一鏈C屬於F, 則C中元素的聯集U為F的極大成員。
: 由於S必屬U, 因此我們只需證明U線性獨立。
: 設u1, u2, ... , un 屬於U, 且有一組純量使：
:   a1*u1+a2*u2+...+an*un = 0.
: 則有Ai屬於鏈C使ui belongs to Ai, 但因C是一鏈，
: 故必有一Ak包含所有ui(i = 1,2,...,n)
: 但Ak線性獨立, 故
:   a1 = a2 = ... = an = 0
: 由此知U線性獨立。
: 我的問題：為什麼只證明了有限的ui，就可以宣稱U線性獨立？
他的意思是
如果 U 是 linearly dependent,
那就存在一組有限的 u_i in U，
和一組不全為零的 scalars a_i，
使得 Σ a_i*u_i = 0。
(以上這是 linearly dependent 的定義，即使 U 中有無限個元素)
但是後來你也知道，找不到這樣的 u_i
所以 U 是 linearly independent

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◆ From: 114.39.167.71
→ ERT312      :另外，U並不是你說的那樣，他不一定是F中的 maximal
推 honsan      :嗯 所以是反證法的意思 謝謝ERT312
→ honsan      :另外原文有證明U是maximal，不過我漏掉了...
→ ERT312      :Maximal Principle 並沒有說 U 是 maximal member喔
→ ERT312      :事實上，不同的 C 可能會對應到不同的 U
→ ERT312      :Maximal Principle 只是說 F 中一定有 maximal，
→ ERT312      :但沒有說怎麼構造
推 honsan      :大概是我表達的不清楚 我的意思是說:
→ honsan      :Maximal Principle保證maximal member存在
→ honsan      :而恰好在這的定理中是鏈元素的聯集。
→ honsan      :跟前輩您的解釋是相同的，但還是謝謝您這麼晚了還這
→ honsan      :麼用心解釋！
→ ERT312      :如果 chain C "太短"，聯集出來的 U 就不會是 F 中的
→ ERT312      :maximal，你可能誤解 maximal principle 了
→ honsan      :可是證明裡面他要的chain應該就是「最長」的那個吧？
推 JASS0213    :不是啊
→ JASS0213    :Maximal Principle 是說：若任意偏序集都有"上界"
→ JASS0213    :則有"極大元素"。
→ JASS0213    :你的chain是個"任意"的偏序集
推 Mewt        :幫樓上改個小筆誤 chain 是 totally ordered subset
→ ERT312      :Yes,偏序有時候是不能比較的，chain一定可以比較
推 honsan      :所以證明U包含所有chain C 的元素，只代表F有一個
→ honsan      :maximal member，並不代表U是那個maximal member?!
→ suhorng     :U是那個chain的上界 不代表就是maximal element
→ honsan      :所以要證明U在F中才能宣稱它是「極大成員」？
→ suhorng     :U在F中這個是本來就必須要證的 (不然不能用)
→ suhorng     :但是F可能有很多chain. 這裡只是對任意的chain, 給出
→ suhorng     :這個chain的upper bound --- 然後引用 Zorn's lemma
→ suhorng     :可以說若每個chain在F中都有upper bound, 則F中存在
→ suhorng     :maximal element
推 JASS0213    :謝謝Mewt。
推 JASS0213    :就說了U是upper bound，不是甚麼maximal element
→ sneak       : 所以證明U包含所有ch https://daxiv.com
→ sneak       : 這個chain的upp https://noxiv.com
→ muxiv       : 而恰好在這的定理中是鏈 https://moxox.com