推 fresca :很漂亮的証明!! 06/12 03:57
→ fresca :非常感謝 06/12 03:57
※ 引述《fresca (coke)》之銘言：
: 對所有n >2 的整數, 証明
: π
: ( Cos (----(2k-1)) )^2
: n 2n n 1
: Σ ----------------------------- > Σ -----------------
: k=1 k=2 π
: π Sin (----(k-1))
: ( Sin (----(2k-1)) )^2 n
: 2n
: 謝謝!
0≦x≦π/2時,sinx≧2x/π=>1/sinx≦π/(2x)
=> RHS≦n(1/1+1/2+..+1/[n/2])≦n(1+ln(n/2))＜n(n-1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)
x=(2k-1)π/(2n)時,Re{(cotx+i)^n}=0
=> t^n-C(n,2)t^{n-2}+C(n,4)t^{n-4}-..=0之根為cot{(2k-1)π/(2n)},k=1,..,n
=> LHS=0+2C(n,2)=n(n-1) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)
(1)(2) => 原不等式成立
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