[機統] moment generating func 是多項式

[vimrc (vimrc)]

想請問一下 Moment generating function 有可能是 polynomial 嘛？

如： 1 + a_1*t + a_2*t 其中 a_2 != 0

從已知的 random variable 去找好像找不太到 ..

但是不知道有沒有可能是從什麼奇怪的函數變來的？

或是要怎麼推出矛盾？

謝謝！

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◆ From: 140.112.248.24
※ 編輯: vimrc           來自: 140.112.248.24       (06/12 23:13)
推 LimSinE     :Cauchy 不等式：0=E[X^4]E[1]>=E[X^2]^2 >=0
→ vimrc       :太感謝了！不過最後那個應該是大於沒有等於才對？
→ Vulpix      :這個問題相當於問有沒有函數的Fourier transform
→ Vulpix      :是delta function與其微分們的線性組合。
→ Vulpix      :抱歉打錯，不見得要是"函數"。然後實際上去檢驗，
→ Vulpix      :除了delta function自己以外，沒有一個能夠當作
→ Vulpix      :probability density。
→ Vulpix      :也就是說如果希望m.g.f.是多項式，那除非是常數。
→ yhliu       :設 X 的 m.g.f. M(t) 存在, 則 M(t) = Σ(t^n/n!)m_n
→ yhliu       :其中 m_n = E[X^n]. 若 M(t) 是 polynomial, 設其階
→ yhliu       :次為 k>0, 則 E[X^k]≠0 且 E[X^n]=0 for n>k.
→ yhliu       :則 E[X^{2k}] = 0 < (E[X^k])^2. 但 E[X^{2k}] 必不
→ yhliu       :小於 (E[X^k])^2. 故 M(t)=1, X 為 degenerated at 0
→ yhliu       :的 point mass distribution.
→ sneak       : 的 point mas https://daxiv.com
→ sneak       : probability http://yofuk.com
→ muxiv       : 則 E[X^{2k}] https://muxiv.com