※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: 設D是一個微分算子,用Green function法解有damping的彈簧受一個脈衝
: (D^2+2bD+w_0^2)y = A δ(t'-t) ; δ(t'-t): Dirac delta function
: 考慮了三種狀況我寫了三個頗長的答案,可惜不知道答案是什麼><
我不知道參數變換是啥鬼，不過做個答案出來順便賺p幣倒是可以的。
先定義 t - t' = s
(w_0)^2 = v 因為我不想在bbs上跟下標搏鬥
然後 d/dt = d/ds 所以我可以全部都用 s。
Fourier 先開下去
(- w^2 + 2 iw b + v ) Y(w) = A
左邊係數移到右邊
-A
Y(w) = ---------------------
w^2 - 2ib w - v
分母配平方
-A
Y(w) = ---------------------------
(w - ib)^2 - (v - b^2)
- A
= ------------------------------------------------------
[w - ib + sqrt(v - b^2)] [w - ib - sqrt(v - b^2)]
再轉回 s 軸上
dw
y(s) = Integate{ ------ Y(w) exp(iws) }
2 pi
若 s > 0，積分路徑要從上面關起來，所以要找 Im(w) > 0 的極點。
1) 若 sqrt(v - b^2) 為實數：
w = ib - sqrt(v - b^2) or ib + sqrt(v - b^2) 為極點
代進去得到
y(s) = A exp(-bt) sin[sqrt(v - b^2) s] / sqrt(v - b^2)
2) 若 b^2 > v ：
sqrt(v - b^2) = i sqrt(b^2 - v)
因為我懶得做下去，所以用 sin(ix) = i sinh(x) 直接把這個代進去：
y(s) = A exp(-bt) sinh[sqrt(b^2 - v) s] / sqrt(b^2 -v)
因為兩個極點怎樣都不會跑到實數軸以下去，s < 0 的時候積分一定為零。
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