Re: [微積] 求弧長後積分的問題

[yuyumagic424 (油油麻雞客)]

※ 引述《a26732300 (Hades)》之銘言：
: Find the length of curve
: x=t/(1+t), y=ln(1+t), 0<=t<=2
: 我把解答po出來，而問題就在紅色框框圈起來的地方
: 解答:http://img834.imageshack.us/img834/1074/k8l.png
: 這個積分是如何積出來的呢?
:  3  sqrt(u^2+1)
: ∫  ------------  du
:  1     u^2
: 謝謝!


如果用u＝tan(t) 代的話


                  dt
將要處理 ∫ ────────
            cos(t)sin^2(t)


若是上下同乘cos(t)後再代K＝sin(t)

我覺得還蠻麻煩的 也一時想不到更好的辦法處理它





如果用u＝sinh(t)代 , du＝cosh(t)dt

則變成

   cosh^2(t)               2                  2
∫────── dt ＝ ∫coth (t)dt ＝ ∫1＋csch (t) dt ＝t－coth(t)＋C
   sinh^2(t)

                ＿＿＿
     -1       √u^2＋1
＝sinh (u)－ ───── ＋C ＝ 最後答案
                 u




也可以先分部積分
     ＿＿＿               ＿＿＿
   √u^2＋1             √u^2＋1           du
∫────── dt ＝ - ───── ＋ ∫──────
      u^2                  u            √(u^2＋1)


                 -1
後一個直接就是sinh (u)

沒看出來的話就代u＝sinh(t)可以很快出來

代u＝tan(t)得到∫sec(t)dt , 只要有背sec 的反導函數也不慢


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.233.127
推 a26732300   :哇!!感謝您! 只是也可以先分部積分那邊是?
→ a26732300   :uv-∫vdu的公式要如何套呢，u和v有點看不出來
   1             ＿＿＿
- ── 作積分  √u^2＋1 作微分
  u^2
※ 編輯: yuyumagic424    來自: 140.112.233.127      (06/15 23:56)
推 a26732300   :懂了，感謝您!!
推 jacky7987   :第一個的話 把它變成(1+cot^2)sec=sec+csc*cot
→ jacky7987   :後面那個的積分剛好是-csc 前面的也知道