Re: [幾何] BN-pairs in Lie theory

[TassTW (塔矢)]

※ 引述《willydp (willyliu)》之銘言：
: 板上有對Lie theory比較熟悉的人嗎? 問題是BN-pairs在real reductive Lie group中:

我讀過一些 BN pair, 但是跟 real reductive Lie group 不熟 @@
來討論一下吧:

: a BN-pair (also known as Tits system) is a pair B,N of subgroups of a group G
: such that
: 1. B and N together generate G
: 2. T = B∩N is normal in N
: 3. W = N/T admits a set of generators S such that for all s∈S, w∈W,
:    (i)  BsBwB ⊆ BwB∪BswB
:    (ii) sBs^{-1} is not contained in B
: BN-pair常用在axiomise Bruhat decomposition,
: 它在finite group of Lie type以及algebraic group中都有用處.
: 只是, 在real reductive Lie group中找不到其用處?
你要說的用處是?
我剛剛 google 了一下,

http://www.math.umb.edu/~anoel/publications/E1.pdf
你可以做 nilpotent orbit 的分類,
那麼當然可以依此研究 nil cone 啦

: real reductive Lie group的Bruhat decomposition最初是由Harish-Chandra證明,
: 比Chevalley提出algebraic group的版本, 以及Tits提出的BN-pair還要早,
: 但是, 我看到的教科書上都沒有用BN-pair的方法, 而是用Harish-Chandra的方法證.
: 請問, 是因為這在real analytic的情況不適用嗎?

我看不懂你的問題 @@
並且, 我看過的 reference http://www-math.mit.edu/~gyuri/papers/bru1.pdf 是說
Harish-Chandra 在 1956 發表的文章證的是 base field = C 的狀況,
Chevalley 在 1955 年發表的文章證明了 arbitrary field 都對
(並在文章中提到 Harish-Chandra 有做出, 但當時未發表 k = C 的情況)


: 此外, 我在Kenneth S. Brown, Buildings這本書上的Appendix中找到這段話(k:field) :
: To get a BN-pair, in general, one has to forget about Borel subgroups and
: instead take B to be the group P(k) for some minimal parabolic subgroup
: P of G, where now “parabolic” is defined by the property that G/P is a
: projective variety. B is again unique up to conjugacy. We can choose B to
: contain T(k) where T is now a maximal k-split torus in G, and we take N to be
: the normalizer of T(k) in G(k).
: 在real reductive的情況下, 假設G是real reductive, Lie G = k + p是Cartan decomp,
: G = KAN是Iwasawa decomp.
: minimal parabolic subgroup好像是對應到MAN=Q,
: 這邊的M= Z_K(a)是K (compact part of G)裡面對a = Lie A的centraliser,
: 然後a是p(noncompact part of Lie G)的一個maximal abelian subalgebra, N是拿a對p作
: weight space decomposition, 得到的root中取一個positive system,對應的subalgebra
: Q=MAN是Q的Iwasawa decomposition.
: 然後在real的情況下, BN-pair中的N(和上面MAN的N不同)取作N_K(a), a的normaliser
: 請問這樣有辦法滿足BN-pair的axioms嗎?

相信作者的話, 有.
但是我從來沒有 check 過,
你可以試試看 GL_2(R) 之類的

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◆ From: 111.248.0.62
→ willydp     :我知道的是, 對於classical group都會對
→ willydp     :事實上classical group/F, 任意field(也許char ≠ 2)
→ willydp     :都會有BN-pair. 但是general的reductive Lie group
→ willydp     :我不知道. real reducitve的定義和algebraic group
→ willydp     :中的reductive定義不太一樣. 而且它現在是analytic
→ willydp     :我找到結果了, 感謝.