[機統] 驗證X/n為二項分配的MVUE

[s110269 (知識探險家)]

政大風管所93年 統計學

Show that the sample proportion X/n is a minimum variance unbiased
estimator of the binominal parameter θ

Sol:
                       n
二項分配的pdf f(x;θ)=C  θ^x(1-θ)^n-x
                       x

可求出Var(X/n)=Var(X)/n^2=θ(1-θ)/n

CRLB(θ)=1/nI(p)=1/1I(θ)           其中I(θ)=n/θ(1-θ)

CRLB(θ)=θ(1-θ)/n  因為Var(X/n)=CRLB(θ)所以X/n是θ的MVUE

有疑問的地方是，題目並沒有說樣本數量，但是在求CRLB(θ)的時候樣本數=1

想知道怎麼解釋樣本數=1，先謝謝各位強者!

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◆ From: 218.211.255.236
※ 編輯: s110269         來自: 218.211.255.236      (06/17 10:56)
推 goshfju     :Y1,..Yn~iid Ber(θ) -> X=ΣYi 這樣做會不會比較
→ goshfju     :不容易混淆??
→ s110269     :謝謝goshfju，我也在想這應該就是比較合理的解釋
→ s110269     :只是寫題目的時候不確定可不可行
→ s110269     :不好意思，若X→Bin(n,p)則X/n→Ber(p)是不成立的，
→ s110269     :可以用mgf證出X/n不符合伯努力分配
→ s110269     :所以goshfju大大的這種方法不可行....
→ s110269     :跟朋友討論過後覺得，應該是題目寫得不夠嚴謹
→ s110269     :題目應該寫成"若在樣本數=1時，X/n為θ的MVUE"較好
→ s110269     :最終討論結果，題目沒有說(X1,...,Xn)~iid，所以就是
→ s110269     :只抽取一個樣本X在把這個樣本除以n。
→ yhliu       :題目沒問題, 是你自己寫的有問題!
→ yhliu       :你可以直接就 bin(n,θ) (θ=proportion of "S") 計
→ yhliu       :算 CRLB. 如果你不這樣做, 而非套用 bin(1,θ) 的
→ yhliu       :CRLB 來解題, 那麼你必須去說明為何能這樣用, 也就是
→ yhliu       :需要如 goshfju 說的, 說明 bin(n,θ) 與 bin(1,θ)
→ yhliu       :是如何連繫起來的.
→ yhliu       :題目已說 X/n 是 sample proportion 了, 還說題目沒
→ yhliu       :說樣本數量?
推 david80701y :老師是對的!
→ yhliu       :X/n 是 sample proportion, 這就蘊涵了 goshfju 說的
→ yhliu       :有 Y1,...,Yn 是 i.i.d. Bernoulli(θ) 而 X = ΣYi
→ yhliu       :要利用 Var(X/n) = CRLB 來證明 X/n 是 MVUE, 一是直
→ yhliu       :接 based on X 計算 Fisher information; 二是 based
→ yhliu       :on Y1,...,Yn. 兩者結果會一樣. 而後者可由只根據 Y1
→ yhliu       :計算 Fisher information 再乘以 n (因 Y1,...,Yn 是
→ yhliu       :i.i.d. 之故). 若對 information 章節有真正理解自然
→ yhliu       :不會有疑義, 自然能了解以上所述. 若不瞭解, 應該要
→ yhliu       :再好好地看書、思考其意.
→ s110269     :謝謝劉老師，那關於information章節有推薦的書嗎?
→ sneak       : 只抽取一個樣本X在把這 https://daxiv.com
→ sneak       : 題目應該寫成"若在樣本 https://daxiv.com
→ muxiv       : 不會有疑義, 自然能了 http://yofuk.com