Re: [工數]Euler-Cauchy線性ODE問題

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《sendohmadonn (Chiu)》之銘言：
: 各位大大好
: 小弟在自修工程數學
: 看到這部分例題雖然有詳解,但有個地方一直看不懂
: 又沒人可以問...
: 所以想麻煩各位大大幫小弟解惑一下 thx...
: 特解Yp = 1/(Dt^2-4Dt+4) * (2e^t+4t)
:        = 1/(Dt^2-4Dt+4) * 2e^t + 1/(Dt^2-4Dt+4) *(4t)
:      (這邊怎麼變成底下的式子就怎麼樣都搞不懂了...Orz)
:        =2e^t + (1/4 + 1/4 Dt +...)*(4t)
:        =2e^t + t + 1
: 其中Dt=d/dt

         1                        1
Yp = ────  (2e^t) + ───────── 4t
      (Dt-2)^2           4[1-(Dt-0.25Dt^2)]


------
說明：

(1)

   1                  1
──── exp(at) = ────exp(at) 若 L(a)≠0 則此式成立
  L(D)               L(a)
                                   若 L(a)=0 則需額外解法 在此不討論


(2)

  1
───[f(t)] 且f(t)為冪級數時
 L(D)

  1
─── 使用綜合除法 化成a0+a1D+a2D^2 +..........
 L(D)
       再與f(t)做運算即可

-------

Yp = 2e^t +0.25[1+Dt-0.25Dt^2+.....][4t]

   = 2e^t + t +1  為解


註：

我使用了一個小trick

      1              a
將 ──── 化成 ─────
     L(D)         1-L*(D)


               0.25                   a1
如本題 化成 ──────── 可視為 ─── 其中 a1=0.25  r=Dt-0.25Dt^2
            1-(Dt-0.25Dt^2)          1-r


而後 直接套等比級數公式 a1+a1r +a1r^2.......
可節省時間


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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.117.222
推 sendohmadonn:恩恩...謝謝...我再研究看看...:)
※ 編輯: Heaviside       來自: 111.243.117.222      (06/20 23:29)
推 Frobenius   :推
推 NNRao       :GJ