[中學] 隨機變數與期望值

[rtyxn (ask)]

請看題目:

同時丟一枚公正硬幣及一顆公正骰子，若硬幣丟出正面，則得30倍骰子點數的獎金(元)，

否則得10倍骰子點數的獎金，試求丟一次的獎金期望值。    ANS. 70元
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這題如果照一般的方法，也就是把各種可能的獎金乘以機率再加總，結果是70元沒問題。

但如果令隨機變數Y為骰子點數、X為獎金，則Y的期望值E(Y)=7/2

而E(X)，也就是所求，恰好等於(1/2)*E(30Y)+(1/2)*E(10Y)

請問版友這種解法正確嗎?或只是湊巧?翻了手邊的參考書都沒這種解法。感謝!

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◆ From: 210.69.149.175
→ CCWck       :"把各種可能的獎金乘以機率再加總" 你把E[Y]展開
→ CCWck       :這兩者會是一樣的東西啊
→ yhliu       :令 Z=1 (正面), =0 (反面) 是硬幣結果.
→ yhliu       :E[X] = E[E[X|Z]] = P[Z=1]E[X|Z=1]+P[Z=0]E[X|Z=0]
→ yhliu       :=(1/2)E[30Y|Z=1]+(1/2)E[10Y|Z=0] = 15*E[Y]+5*E[Y]
→ yhliu       :E[Y|Z=1]=E[Y]=E[Y|Z=0] 是因 Y, Z 相互獨立.
→ yhliu       :以上就是你的解法, 是 "條件期望值恆等式" 的應用.
→ rtyxn       :謝謝樓上。這就是我要問的東西。