Re: [中學] 分成若干個正整數的和，求最大的積

[jurian0101 (Hysterisis)]

※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《lovewin (我要當102年榜首)》之銘言：
: : D  8. 將14 分成若干個正整數的和，並使這些數的乘積值最大，則最大的積為何？
: :       (A) 49 (B) 96 (C) 128(D) 162                                     101實中
:       14 is expressed as the sum of n positive real numbers
:       a_1 + a_2 + ... + a_n =14
:       then
:       a_1 * a_2 * .... * a_n <= (14/n)^n
原來是算幾

函數     f(x)= (k/x)^x

令u=k/x      = u^(k/u) = (u^(1/u))^k = g(u)^k

而 g(u)= u^(1/u) , ln g(u) = 1/u ln(u),

              微分 g'(u) / g(u) = (1-ln(u))/u^2

              解極值 g'(u)=0 在 u = e 處, 其實這是極(最)大值，
                                          沒打二次導數，因為懶
結論是 g(u) ≦ g(e) = e^(1/e), 此時 x = k / e

回到題目，因此 (14/n)^n ≦ e^(14/e) ~ 172.48, 此時n=14/e = 5.15

但實際上手算不可能這樣，還是得如JohnMash大所示的代整數算

即使這樣還是難算。實戰上不如bn51401大假設k=6n的觀察法好用。

:       (14/1)^1=14, (14/2)^2=49, (14/3)^3<102 (14/4)^4<151
:       (14/5)^5<173, (14/6)^6<162, (14/7)^7=128,...
:       We guess n=5,
:       a<=b<=c<=d<=e, a+b+c+d+e=14
:       5a<=14, a<=2.8 and a is a positive integer.
:       (i) a=1, b+c+d+e=13, abcde=bcde<=(13/4)^4<112
:       (ii) a=2, b+c+d+e=12, abcde=2bcde<=2(12/4)^4=162
:       and max occurs at a=2,b=c=d=e=3
:     ----------------------------
:       Furthermore, 162 is still max for all n.
:       We do not need to check other n.
:       Done.



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 1.172.125.210
推 JohnMash    :if you like to get a quick answer, you can test
→ JohnMash    :the choices directly.
→ JohnMash    :test first (d) 162=2*3^4, 2+3*4=14, Bingo