[數論] 4k+3質數的性質

[h2o1125 (123)]

發現了一個很神奇的性質

不知道有沒有人提出來過

前兩點我證不出來  求神人證明

感覺跟二次剩餘有關@@

後幾點可以由前兩點推得

質數p為4k+3型式

1、Zp*乘法群中，如果a<p/2 ,則 a的乘法反元素a`>p/2  →錯的

2、[(p-1)/2] ! 同餘  -1 or  1 mod  p

3、[(p+1)/2]*[(p+3)/2]*...*(p-1) 同餘 1 or  -1  mod p

4、所有小於P的奇數相乘同餘1  mod p

5、所有小於P的偶數相乘同餘-1  mod p

6、by 4,5 奇數相乘與偶數相乘的和  為p的倍數

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舉例來說  質數23 =4*5+3


2、11! 同餘 -1  mod 23

3、by第二點  12*13*...*22 同餘(-11)*(-10)*...*(-1) 同餘 1 mod 23

4、1*3*5*7*...*21 同餘 1  mod 23

5、2*4*6*8*...*22 同餘 -1 mod 23

6、(1*3*5*7*...*21+2*4*6*8*...*22) 同餘 0 mod p

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◆ From: 1.175.175.253
※ 編輯: h2o1125         來自: 1.175.175.253        (06/25 11:58)
推 JohnMash    :1*1=1 mod p
推 coolbetter33:3*8=4*6=1 mod(23)
對厚  那第一點是錯的  第二點我也找到反例 p =151  75! 同餘 1 mod 151

所以要修改一下  同餘1 or -1
推 kkk3388     :你看看陶哲軒出的書(中文書名  前陣子很紅那本)
看書的用意是？

我證完了  這題其實超簡單

對所有的p 奇數相乘+偶數相乘的和都會是p的倍數

只有在4k+3的p時 兩項剛好會等於1和-1

在4k+1時 兩項為ab 滿足a+b=p & a*b同餘1 mod p
※ 編輯: h2o1125         來自: 1.175.175.253        (06/25 19:23)
推 Bourbaki    :2.3.在Niven的p.53有