[線代] 空間分解一題

[tiwsjia (佳佳)]

感謝 THEJOY 板友和 Vulpix 板友的想法，讓我發現沒有將該分解的「non-triviality」
說清楚。因此，我將原本的問題變形成這個問題：

考慮 |R^n 中的旋轉矩陣 R，亦即為 n by n 矩陣、滿足 R^t = R^{-1} 和 det R = 1
若 R 中的每個元素都不為 0，則是否一定可找到一行（column）為正向量或負向量？

Q：

在 |R^n 中是否存在兩個子空間 U, V = U 的正交補餘（orthogonal complement）

滿足 U, V, 中任一非零向量，其每一個分量都不為零。

使得 |R^n = U + V 且 U, V 都不含有「正向量」。

P.S. v = (v_1,...,v_n) 稱為正向量如果 v_j > 0 for all j。



佳佳

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◆ From: 87.77.115.64
→ THEJOY      :考慮{(x,0)|x in |R}+{(0,y)| y in |R^(n-1) }
→ tiwsjia     :感謝～我題目沒有出好，不好意思。
※ 編輯: tiwsjia         來自: 87.77.115.64         (06/26 01:21)
※ 編輯: tiwsjia         來自: 87.77.115.64         (06/26 01:28)
→ Vulpix      :"U, V, 中任一非零向量，其每一個分量都不為零"@@
→ Vulpix      :這樣的話，U交集{x|x_1=0}就是{0}囉？那除非U是一維
→ Vulpix      :或0。V也是一樣。所以這個|R^n只有|R^0、|R^1、|R^2
→ Vulpix      :三種可能了@@。|R^0，無聊地對。|R^1，無聊地對。
→ Vulpix      :|R^2，U=<(a,b)>,V=<(b,-a)>，然後一算就知道不可能
→ Vulpix      :對。所以，n=0,1時是對的，n超過1就不對了。
→ Vulpix      :啊，剛剛說錯了一個，|R^1，應該是無聊地「錯」。
→ Vulpix      :所以n=0時是對的，n超過0就不對了。囧。
→ tiwsjia     :感謝。我題目又出得不清楚了 @@
※ 編輯: tiwsjia         來自: 109.45.0.66          (06/26 20:07)
→ sneak       : 三種可能了@@。|R^ https://muxiv.com
→ sneak       : 對。所以，n=0,1時 http://yofuk.com