※ 引述《Honor1984 (希望願望成真)》之銘言：
: ※ 引述《giveme5 (給我5塊~)》之銘言：
: : 正方形ABCD內部一點P
: : 其中線段PA = 3
: : 線段PB = 5
: : 線段PD = 4
: : 求正方形ABCD周長
: : 之前好像看過類似考題
: : 但一時之間想不起來
: : 以後應該將這些考題好好收集妥善才是
: : 煩請版上的各位高手幫忙解答一下
: : 感激不盡~ ^^
: 記得有用幾何做出來的方法
: 題目特別設計過
: 不過我真的忘了
: 下面的方法一定可以
: 只是很麻煩而已
: 在正方形AD邊外側取一點P'使得AP'D全等於APB
: 則角P'AP為直角
: 所以P'P = 3sqrt(2)
: 且AP'DP的四個邊長皆為已知給定的長度
: 利用海龍公式求得三角形面積P'PD
: 再利用三角形面積P'PD =1/2 兩鄰邊乘機 * 夾角的正弦值 以及餘弦公式
: 可求出P'PD三個角度的正餘弦值
: 因此可求得角AP'D及角APD
: 利用餘弦定律可即可求出AD
: 此即正方形邊長
利用這個圖形應該能弄出一個解析解來:
不妨設 ABCD 為逆時針繞
令 A 為原點 向量 AP 的方向為正 x 軸 則向量 AP' 的方向為正 y 軸
故有 P (3,0), P' (0,3)
又因 PD = 5, P'D = PB = 4
若令 D(x,y) 則有
{ (x-3)^2 + y^2 = 25
{ x^2 + (y-3)^2 = 16
聯立解之 兩式相減可得 -6x + 6y = 9 即 y = x + 3/2 代入一式
(x - 3)^2 + (x + 3/2)^2 = 25
展開得 2x^2 - 3x - 55/4 = 0 即 8x^2 - 12x - 55 = 0
公式解得 x = (3±√119)/4
由於圖形上來看我們要的 D 點是第一象限的那個 故取正根
於是 x^2+y^2 = 25 - (x-3)^2 + x^2 = 16 + 6x = (41+3√119)/2
正方形邊長即為其根號 √((41+3√119)/2) 和推文算得的答案相同
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