[幾何] 圓周上的有理點

[jurian0101 (Hysterisis)]

定義. x-y平面上的有理點 := x,y座標皆為有理數的點稱之
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定理. 以有理點為圓心，有理數為半徑的圓上有無窮個有理點


  說明: 整數畢氏/勾股三元數組可透過 (m^2+1, 2m, m^2-1) 公式造出無窮組

        以水平線為直徑的上半圓，顯然兩個端點是有理點。

        將直角三角形斜邊縮放為圓直徑，內接於上半圓，即可做出新的有理點。
        因此，在此圓的圓周上還可以做出(可數)無窮個有理點。


今有一圓，圓心在(0,√3)，半徑為2，因此通過(1,0)和(-1,0)兩個有理點。

問題是：像這樣圓心為無理點(並非坐標都是有理數的點)，半徑為有理數的圓上
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        最多有幾個有理點？

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推 LimSinE     :之多兩個，三個有理點的外心坐標亦是有理點
→ RAINDD      :x^2+y^2-2√3*y-1=0，整理成"有理數項+無理數項=0"
→ RAINDD      :得(1,0)、(-1,0)是唯二個有理點。