作者LPH66 (f0VMRgEBA)
看板Math
標題Re: [中學] 三角恆等式證明
時間Mon Jul 1 19:44:33 2013
※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 證明tan10°=(tan20°)(tan30°)(tan40°)
: 想了好久，希望有高手幫忙，感謝。
: 推 PONYINNCCU :如果把20與40改成30-10與30+10，然後用三倍角公式 07/01 00:05
: → PONYINNCCU :不過應該有更好的方法 07/01 00:06
: → tzhau :可是換成 30°加減 這樣還會是三倍角? 07/01 00:16
: 推 PONYINNCCU :10的三倍角 07/01 00:22
: → tzhau :Pony版友可以把利用三倍角的方法寫在板上嗎 謝謝 07/01 00:30
: 推 PONYINNCCU :如果右邊式子全部變成角度是10與30的組合 07/01 00:43
: → PONYINNCCU :右邊式子全部都會是tan10與tan30 07/01 00:44
: → PONYINNCCU :然後把tan30用tan10去表示 07/01 00:44
: → PONYINNCCU :式子會很複雜，希望有其他高手可以有別的角度切入 07/01 00:45
正好我今天想的解跟 PONY 想到的一樣是用三倍角來做
這樣寫會比較簡單:
令 x = tan10度 而 tan30度 = 1/√3
tan30度 - tan10度 1/√3 - x
所以 tan20度 = --------------------- = -----------
1 + tan30度 tan10度 1 + x/√3
tan30度 + tan10度 1/√3 + x
tan40度 = --------------------- = -----------
1 - tan30度 tan10度 1 - x/√3
乘起來 分子分母都是平方差
1/3 - x^2 1 - 3x^2
tan20度tan40度 = ------------- = ----------
1 - x^2 / 3 3 - x^2
而三倍角公式是長這樣: (這可以由和角公式跟兩倍角公式推來)
3tanθ - tan^3 θ
tan 3θ = ------------------
1 - 3tan^2 θ
所以上式如果除以 tan10度 = x 就得到
tan20度tan40度 1 - 3x^2 1
---------------- = ---------- = ---------
tan10度 3x - x^3 tan30度
因此 tan10度 = tan20度 tan30度 tan40度 Q.E.D.
--
LPH [acronym]
= Let Program Heal us
-- New Uncyclopedian Dictionary, Minmei Publishing Co.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.118.132.108
推 thisday :其實tan(nθ)的倍角公式可以從De Moivre得到 07/01 20:52
→ thisday :以下用tan 3θ為例 07/01 20:53
→ thisday :(cosθ+isinθ)^3 = cos3θ+isin3θ 07/01 20:54
推 thisday :=(cos^3θ-3cosθsin^2θ)+i(3cos^2θsinθ-sin^3θ) 07/01 21:11
→ thisday :tan3θ=sin3θ/cos3θ=(3s^2-s^3)/(c^3-3s^2c) 07/01 21:12
→ thisday : =(3t-t^3)/(1-3t^2) 07/01 21:14
→ thisday :然後就可以得到規律 1 -2 1 , 1 -3 3 -1 ... 07/01 21:15
→ thisday :tan的n倍角公式 07/01 21:17
推 PONYINNCCU :受教了 07/02 12:33
推 thisday :QQ 少打了一個c =(3cs^2-s^3)/(c^3-3s^2c) 08/04 21:41
2021/7/18 刪除廣告推文
※ 編輯: LPH66 (180.177.0.237 臺灣), 07/18/2021 18:44:45