Re: [微積] 101 台大數學系轉學考

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《BaBi (迅雷不及掩耳盜鈴)》之銘言：
:            kysin(kr1)sin(kr2)
:     ∫∫ ---------------------- dxdy
:        D          r1r2
:     where k is a constant, r1 = sqrt((x+1)^2+y^2)
:                            r2 = sqrt((x-1)^2+y^2)

不好意思 經過原發問者寄信提示 考題的區域D條件是沒有根號的 所以不是橢圓 是圓
而我此篇所做的是有根號的橢圓條件
不知當時監考官是否有做任何修正
但是為了怕誤導考生  在此特別說明

     and D is the half of the ellipse √[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2] ≦4

原題目D is the half of the ellipse [(x+1)^2+y^2] + [(x-1)^2+y^2] ≦4

:     , which is in y > 0.
:         ---- (代Po)

原積分I = 2∫∫ f(x,y) dxdy
        橢圓第一項限D'

令u = sqrt((x+1)^2+y^2) + sqrt((x-1)^2+y^2)

  w = 4x

          sin(kr_1)sin(kr_2)       r_1 r_2
I = 2∫∫────────── ky ──────  dw du
      D'      r_1    r_2             4yu

     -k
  = ──∫∫ [cos(ku) - cos(kw/u)](1/u)  dw du
     4   D'

     k       sin(kw/u)                     2u
  = ──∫ [──────  - (w/u)cos(ku)] |     du
     4          k                          0

     k       sin(2k)
  = ──∫ [───── -  (2)cos(ku)] du
     4          k

     k        u sin(2k)           sin(ku)    4
  = ──   [────── -    (2)─────]|
     4          k                    k       2

     k      2 sin(2k)     2sin(4k) - 2sin(2k)
  = ── [ ────── -  ─────────]
     4         k                  k


  =   sin(2k) - (1/2)sin(4k)


  =  sin(2k)[ 1 - cos(2k)] = 4 cos(k)[sin(k)]^3

--
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※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.159.5        (07/03 05:43)
推 zipmail     :推薦這篇文章
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.159.5        (07/04 03:10)
→ Honor1984   :謝謝 如果同我認為的有根號的橢圓條件 答案是正確的
→ Honor1984   :請放心參考
如果以疑似錯誤的考題給出的條件D: [(x+1)^2+y^2] + [(x-1)^2+y^2] ≦4做計算
x^2 + y^2 ≦ 1

我列出幾個表達式
有興趣的可以想辦法繼續做出結果來

表達式1
                         0                      2√2
= (1/2)sin(2k)  - (1/4)[∫sin(k√(8-v^2)) dv - ∫ sin(k√(8-v^2)) dv]
                        -2                      2
表達式2
                         2√2                    0
= -(1/2)sin(2k) - (k/4)[∫√(8-v^2)cos(kv) dv - ∫√(8-v^2)cos(kv) dv]
                         2                      -2
表達式3
         2√2                            2√2
= (-k/2)∫√(2-u^2/4) cos(ku) du + (1/4)∫sin(2k√(2-u^2/4)) du
         2                               2

其他類似的就不寫了

我深信D is the half of the ellipse √[(x+1)^2+y^2] + √[(x-1)^2+y^2] ≦4

才是出題者原本的意思

如果有人可以做出[(x+1)^2+y^2] + [(x-1)^2+y^2] ≦4條件的解析解

希望能夠貼出來讓大家觀摩一下

謝謝
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.147.124      (07/04 13:22)