[其他] 極值問題

[variation ( )]

想請教有一個關於極值問題的簡單猜測:


已知 x1 + x2 = a (一定值)，欲求 S = f(x1)+ f(x2) 的極值

至少發生在 x1 = x2 = a/2 之處


原因是 f'(x) + f'(a-x)(-1) = 0   ->  f'(x) = f'(x-a)
故至少在 x = a-x 符合極值條件

想請問

(a)上述猜測跟理由是否正確?

(b)如果f(x)有單調遞增的條件，可否推論出此極值唯一?
   或者什麼條件下可以唯一? 或者沒有必然狀況?

十分感謝

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.116.1.134
推 honsan      :f不一定可微分。
→ Vulpix      :先假設f可微分吧。(a)否，微分為0是對的，但無法推論
→ Vulpix      :是極值與否。(b)"單調"不能有此推論。凹函數或凸函數
→ Vulpix      :可以保證極值唯一。或許還有其他好的簡單條件吧。
→ variation   :多謝，應該設定f可微。
→ variation   :所以(a)應該附帶檢驗f"(a/2)是否成立極值條件。
→ Vulpix      :那你還要多假定f二次可微
→ yhliu       :WLOG, 設 a=1, 原題成 S(x) = f(x)+f(1-x). 顯然 S
→ yhliu       :的圖形對稱於 x=a/2(=1/2). 因此, 除非 S(x) 在該處
→ Vulpix      :喔，對了，應該強調"嚴格"凹(凸)函數XD
→ yhliu       :附近亂跳, 否則有相對極值的推想是合理的. 但 f 的
→ yhliu       :單調性並不見得能保證 S(x) 的單峰或單谷, 因此應不
→ yhliu       :保證極值唯一.
→ yhliu       :無極值之例: f(x) = cos(1/x), a=π.
→ yhliu       :上面例子舉錯了!
→ yhliu       :取 f(x)=sin(1/(π/2-x)) 當 x≠π/2; = 0 當 x=π/2
→ yhliu       :上面的例子還是錯...改成 sin(1/|π/2-x|) 吧!
→ yhliu       :f(x) 單調, S(x) 極值不唯一之例:
→ yhliu       :a=2, f(x)=x 當 0≦x≦1; =1+(3/2)ln(x) 當 1<x≦2.
→ sneak       : 附近亂跳, 否則有相對 https://noxiv.com
→ sneak       : f不一定可微分。 https://daxiv.com
→ muxiv       : 多謝，應該設定f可微。 http://yofuk.com