Re: [其他] 請問這題怎麼變換的

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《gsc0478 ()》之銘言：
: 題目是要Laplace變換
: y''-4y=5δ(t-4)sint
: 解題的分析是
: δ(t-4)f(t)=f(4)δ(t-4)
: 所以上述等號右邊的式子
: 5δ(t-4)sint  ==> 5sin4δ(t-4)
: 這個部分看不懂 能否請板上先進協助解釋一下
: 謝謝


y" -4y =5δ(t-4)sint

------
δ函數性質：

δ(t-c)=0 , t≠c

 b
∫ δ(t-c)dt =1 , a<c<b
 a

可得知 δ函數在 c-ε<c<c+ε這樣的區域內
有個無限大的值
畫圖解釋大概像這樣


 ↑      ┌┐  ┬
 │      ││  │
 │      ││  │= ∞
 │      ││  │
 ┼───┴┴─┴─────→
 │    c-ε c+ε
 │

所以 當δ函數乘上其他函數時
就只有在t=c時才有值
且因為面積為1
所以 就會得到以下的結果
ex: δ(t-a)f(t)=δ(t-a)f(a)

------
y" -4y =5δ(t-4)sin(t)=5δ(t-4)sin(t)

                           ∞
(s^2)Y -y(0)s-y'(0) -4Y = ∫ 5δ(t-4)sin(t)exp(-st)dt = 5sin(4)exp(-4s)
                           0


(s^2 -4)Y = 5sin(4)exp(-4s) +sy(0) +y'(0)

    5sin(4)exp(-4s)+sy(0)+y'(0)
Y= ──────────────
           (s+4)(s-4)

     5sin(4)exp(-8)+4y(0)+y'(0)    5sin(4)exp(8)-4y(0)+y'(0)
 =  ─────────────  + ─────────────
            8(s-4)                           -8(s+4)

    5sin(4)exp(-8)+4y(0)+y'(0)    5sin(4)exp(8)-4y(0)+y'(0)
y=  ─────────────  - ────────────
           8exp(-4t)                  8exp(4t)


為total solution



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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.122.103.131
→ harveyhs    :抱歉有一點地方小挑剔...δ(t-c)f(t)還是寫成
→ harveyhs    :δ(t-c)f(c), 比較好，因為它的意義是在積分底下的
→ harveyhs    :δ(t-c)f(c) 跟 f(c) 積分出來的值不一樣
※ 編輯: Heaviside       來自: 140.122.103.131      (07/08 17:05)
推 gsc0478     :萬分感謝~~