作者Giawgwan (教官)
看板Math
標題孿生質數猜想
時間Sun Jul 14 23:00:53 2013
這幾個月數學界最大的新聞, 應該是孿生質數猜想的大進展.
質數就是不能再因數分解的數. 孿生質數 (twin primes) 是指相差 2 的兩個質數.
比如 3, 5 就是一對, 當然 5, 7 也是另一對, 11, 13 或 934573091, 934573093, 或
3939889393988939398893947261, 3939889393988939398893947263
也都是孿生質數. (Well, 不相信的可以試著分解看看).
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所謂的孿生質數猜想就是說: 像這樣
"相差恰為 2 的質數有無限多對".
孿生質數猜想是一個古老而重要的猜想, 原因是對質數分佈的研究. 自然數是最古老
的數學研究對象, 質數又是組成自然數的骨幹, 因此理解質數的分佈理解是數學中核心的
問題.
但是質數的分佈是非常難捉摸的. 雖然早在歐基里德時代就已經證明質數有無限多個,
但是“下一個質數在哪裡” 仍是不可解的問題.
比如說, 兩個相鄰質數的間隔可以任意開. 意即我們可以設計出任意長的一連串連續
自然數, 都不是質數. 比如
100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, . . . 100! + 100
這 99 個連續自然數都不是質數 (因為第一個是 2 的倍數, 第二個是 3 的倍數, ...最後
一個是100 的倍數). 同理, 把 100! 換成 1000000000!, 則我們就製造出連續九億九千
九百九十九萬九千九百九十九個自然數都不是質數. 把數字換得更大一點, 就可以製造出
更長的一串連續自然數, 每一個都不是質數.
所以, "下一個質數" 可以非常遙遠. 但是孿生質數猜想說, 即便如此, "相差恰等於
2”的質數仍然有無限多對.
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在 2013 年 5 月14 日, Nature 雜誌報導, 數學家張益唐做出了大進展. 他證明了
“相差< 70000000” 的質數會有無限多對.
他的論文已經被數學界最好的期刊之一“數學年刊” (Annals of Mathematics) 接
受, 即將發表.
這個結果轟動了數學界. 但一大部分的焦點放在原本在數學界默默無聞的張益唐本人
上. 從北京大學到普渡大學博士, 他一路在名校畢業, 但是工作都不是很順利, 中間一度
還到速食店打工謀生. 就在證明出這個驚動數學界的結果時, 他還沒有正式的教職, 只在
新罕布夏大學兼一門課.
這故事當然很戲劇性, 激勵了許多超過四十歲的數學家 (因為 Fields 獎的關係, 數
學家對“四十歲” 這件事有相當的恐懼). 張益唐的成就證明了羅馬不是一天造成的, 花
時間堅持下去還是有可能有很好的成果. 他在今年七月有受邀來到台大, 參加本年度的華
人數學家大會, 並進行學術演講.
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網路上的一些同學有一些質疑. 張益唐只證明了有“無窮多對相差 < 70000000",
離孿生質數猜想的“無窮多對相差恰 = 2” 還很遠不是嗎? 這有什麼好慶祝的呢? 又有
什麼特別的呢?
是的, 也許真正離證出孿生質數猜想還很遠. 但是張益唐的貢獻在於他的結果把問題
從茫茫大海的無限可能中拉到‘有限’, 跨越了非常大的鴻溝.
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有限與無限的差別是困難的概念. 比如說, 網路的數學版不時就會有 0.9999...到底
有沒有等於 1 的爭論. 先說答案: 0.9999... = 1, 並沒有差一點點. 但我甚至還在坊間
的一本號稱美國名校數學博士寫作的科普書上大剌剌地宣稱 0.999...不等於 1, 真是令
人瞠目結舌.
這些爭端, 說穿了都是弄不清楚有限與無限的分野. 歸根究底都是在心理上無法接受
“無限” 這樣的概念. 但說實在, 無限這個概念的確是不容易體會的.
稍微離題一下. 關於 0.9999...與 1, 我所知的最似是而非 (而拍案叫絕) 的論點
是: 可以“證明”0.9999.... < 1, 而且用數學歸納法! “證明” 如下:
“令a_n = 0.999...9, 小數點後共有 n 個 9. 顯然a_1 < 1. 由數學歸納法假設,
a_n < 1, 則經過簡單計算後可得到 a_(n+1) < 1. 因此, 由數學歸納法, 對於任意 n,
都有 a_n < 1. "故0.999... < 1.”
以上的“證明” 除了最後一句“故 0.999... < 1”都是對的 — 它的確證明了, 不
管 n 有多大, 亦即不管 0.999...9 小數點後面有多少個 9, 這個數都比 1 小.
但是問題就是, 不管 n 有多大, 0.999...9 (小數點後有 n 個9), 都還是 ``有限個"
9. 而 0.999... 後面有無限多個9, 此時才會有0.999... = 1.
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微積分裡面一個基本的結果是調和級數
1 + 1/2 +1/3 +1/4 +.....
發散到無限大. 學過微積分的同學多半都不覺得這個結果很驚異. 但是它的確是很令人驚
異的: 讓我換成底下的說法:
一隻螞蟻第一天走一公分, 第二天走 1/2 公分, 第三天走 1/3 公分, 如此下去. 只
要它有耐心, 它可以從台北走到紐約.
這樣有趣多了不是嗎. 但這結果, 即使專業數學家, 都難以真正 "體會".
用電腦軟體可以算出, 螞蟻走一年一共走了
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/365 = 6.478...
公分. 走一年才六公分! 我們身處的宇宙壽命一共只有一百七十億年. 如果從宇宙誕生一
開始, 螞蟻就開始走, 到現在一共走了多遠? 你猜? 總可以走很遠吧! 錯了. 答案是
1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(365*17000000000) = 30.03359...
公分. 連房間都走不出去!
但是, 明明 1+ 1/2 + 1/3 +.... 發散到無限大, 螞蟻不僅可以走到紐約, 甚至還可
以走無限遠啊!
我們對無限的瞭解實在不多, 是吧.
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所以回到主題, 張益唐得出了“無限多組相差 < 70000000” 這個結論, 一下子把虛
無飄渺的未知抓到七千萬以內, 真是非常了不起的進展.
數論這個領域的上界估計, 動不動都是好多層的指數往上相疊的函數. 七千萬這個上
界非常實際, 並沒有很大. 張益唐本人也說, 他論文中“七千萬” 的估計是頗為粗糙的,
應該可以改進.
沒錯, 從他的論文出現後, 有許多數學家馬上投入這個問題. 截至目前為止, 七千萬
已經被縮減到 248910 了. 也就是說,
"有無限多對質數, 相差 < 248910."
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這一代的數學家是幸運的, 目睹了許多領域的重要進展. 比如費馬大定理的證明,
Poincare 猜想的證明等等, 現在又親眼經歷孿生質數猜想的大進展.
2013, 森棚教官
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