推 whereian :超專業，受教了，謝謝！ 07/16 22:42
推 mathphysics :Good Job! 07/17 09:07
: : 所以如果按照這樣，是不是可以歸納這一個公式：
: : A∩B∩C∩D∩.... ≧ (A+B+C+D+....) - (n-1)*100%
: : -----------------
: : 有n個集合交集
這不等式有名字 : Bonferroni's Inequality 和 Boole's Inquality 根本是一體兩面
Bonferroni's Inequality:
n n
P(∩ A ) ≧ Σ P(A ) - (n-1)
i=1 i i=1 i
Boole's Inquality:
n n
P(∪ A ) ≦ Σ P(A )
i=1 i i=1 i
對於finite n, 利用
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
(1) P(A∩B) ≧ 0 => P(A∪B) ≦ P(A) + P(B)
和數學歸納法
=> Boole's Inquality
(2) P(A∪B) ≦ 1 => P(A∩B) ≧ P(A) + P (B) - 1
和數學歸納法
=> Bonferroni's Inequality
當然兩者可以互推:
Boole's Inquality => Bonferroni's Inequality
______
n n
P(∩ A ) = 1 - P(∩ A )
i=1 i i=1 i
n _
= 1 - P(∪ A )
i=1 i
n _
≧ 1 - Σ P(A )
i=1 i
n
= 1 - Σ(1 - P(A))
i=1 i
n
= Σ P(A ) - (n-1)
i=1 i
Bonferroni's Inequality => Boole's Inquality
n n _
P(∪ A ) = 1 - P(∩ A )
i=1 i i=1 i
n _
≦ 1 - [Σ P(A ) -(n-1)]
i=1 i
n
= n - Σ(1 - P(A ))
i=1 i
n
= Σ P(A )
i=1 i
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