作者ckchi (飄)
看板Math
標題Re: [中學] 求整數解
時間Thu Jul 25 11:24:59 2013
※ 引述《smilerr (always smile)》之銘言：
: 題: (x+2y+3)(x+4y+1)=60
: 有幾組整數解
: 答案:8
: 以下我的錯誤作法:因為x,y皆為整數,所以(x+2y+3),(x+4y+1)也皆為整數
: {(x+2y+3),(x+4y+1)}的可能有:
: (1,60),(2,30),(3,20),(4,15),(5,12),(6,10),(10,6),(12,5),(15,4),(20,3)
: (12,2),(60,1) 共12種
: 考慮整數含正負整數 所以 12*2 = 24
: 這樣寫是錯的 到底正解 8 是如何找到?!
: 感謝回復..
方便起見，我們可以令 x+2y+3=a x+4y+1=b
所以 a*b = 60
且 x+2y=a-3
x+4y=b-1
兩式相減： 2y = (b-1) - (a-3) = b-a-2
也就是說， y = (b-a)/2-1
如果y要是整數，那麼(b-a)必需是偶數，
也就是a和b同為奇數 or 同為偶數
所以剩下能用的 (a,b) 只有： (2,30) (6,10) (10,6) (30,2)
(-2,-30) (-6,-10) (-10,-6) (-30,-2)
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◆ From: 140.116.89.129
→ smilerr :c大感謝你的推導!解釋得很清楚^^ 07/25 11:29
→ ckchi :順便一提，y = (b-a)/2-1 代回 x+2y=a-3 ： 07/25 11:33
→ ckchi :x = (a-3) - (b-a-2) = 2a-b-1 07/25 11:33
→ ckchi :x = 2a-b-1, y = (b-a)/2-1 表示 07/25 11:33
→ ckchi :表示(a,b)中只要一個不同 算出來的(x,y)也一定不同 07/25 11:34
→ ckchi :所以不會有重根 07/25 11:34
→ ckchi :更正上面那句：所以不會有重覆的 07/25 11:35
推 smilerr :c大~感謝你!原來是這樣 ^^ 不過你有小小計算錯喔 07/25 11:49
→ smilerr :y = (b-a)/2+1 ,所以 x=2a-b-5,所以後面就如您所說 07/25 11:50
→ smilerr :(x,y)算出來不會重複^^ 07/25 11:50