推 pentiumevo :我沒寫錯，應該是書本寫錯了。我想這題目想了好久... 07/29 22:36
※ 引述《pentiumevo (數學系最不靈光的人)》之銘言：
: [題目]
: 在三角形ABC的邊BC上取一點P，
: 令角BAP = alpha,
: 角CAP = beta,
: 角ABC = gamma,
: 角ACB = delta,
: 試利用面積關係 三角形ABC = 三角形ABP + 三角形ACP
: 以及正弦面積公式証明
: [sin (alpha + beta)] * [sin (beta + gamma)]
: =
: (sin alpha)*(sin gamma) + (sin beta)*(sin delta)
: [想法]
: 只寫出
: AB*AC*sin (alpha + beta) = AB*AP*sin (alpha) + AC*AP*sin (beta)
: = AB*BPsin (gamma) + AC*CP*sin (delta)
: 這樣子後就不知道要怎樣做下去。
: 另外我覺得題目中出現sin (beta + gamma)很怪，因為beta + gamma這角度在圖上好像
: 搞不出來?(也許是我眼睛太大XD)
: 我想了一晚，一直沒有什麼新想法，請各位朋友幫個忙，謝謝。
你是不是題目中 α和β寫反了?
(或是γ和δ寫反了)
從你給的資訊，我們可以知道：
AB*AC*+sin(α+β) = AB*AP*sinα + AC*AP*sinβ
=> sin(α+β) = (AP/AC)*sinα + (AP/AB)*sinβ
又，從三角形ABP我們可以知道：
AB*BP*sinγ = AP*BP*sin[π-(α+γ)] = AP*BP*sin(α+γ)
=> AP/AB = sinγ/sin(α+γ)
同理，從三角形ACP可得：
AC*CP*sinδ = AP*CP*sin(β+δ)
=> AP/CP = sinδ/sin(β+δ)
把兩個黃色的式子代回綠色式：
sin(α+β) = sinαsinδ/sin(β+δ) + sinβsinγ/sin(α+γ)
因為 sin(β+δ) = sin(α+γ) ，上式可變成：
sin(α+γ)sin(α+β) = sinαsinδ + sinβsinγ
把α和β反過來就會變成你題目要的東西......
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