[代數] 一題代數

[coolbetter33 (香港3345678)]

寫代數題目想到的問題,考慮 Group G = U(20)= {1,3,7,9,11,13,17,19} 即20以下且與

20互質的正整數集,在mod 20的乘法下為一個群,如圖 http://ppt.cc/xmiM

考慮其3個order2 的子群.A={1,11},B={1,9},C={1,19}.顯然都是同構.但是其中 G/A

 和G/B這兩組 factor group 卻不同構.[也是課本的問題]

考慮G/A為一 order4 的群.有3A=13A={3,11},7A=17A={7,17},9A={9,19},A={1,11}

而(3A)^2 = 9A ≠ A,(3A)^4 = A ,知其G/A is cyclic,且同構於 Z_4

http://ppt.cc/XWMC

考慮G/B .3B=7B={3,7},11B=19B={11,19},13B=17B={13,17},B={1,9}

而(3B)^2 =(11B)^2=(13B)^2 = B,知其同構於 Z_2⊕Z_2 [G/B ~ Z_2⊕Z_2]

http://ppt.cc/cxLe


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而利用external direct  product有 U(20) ~ U(4)⊕U(5) ~  Z_2⊕Z_4.其中恰有3個

order 2的子群 ,D = {(1,0)(0,0)},E = {(0,2)(0,0)} F = {(1,2)(0,0)}與A,B,C

分別對應.但仍未知.

若只考慮 (Z_2⊕Z_4)/E ,有 (1,0)E =  {(1,2)(1,0)}.(1.3)E =  {(1,3)(1,1)}.

(0,3)E =  {(0,3)(0,1)},和 E = {(0,2)(0,0)},比較order 知其也同構於Z_2⊕Z_2

也就是說,B in U(20) as like E in Z_2⊕Z_4 ,不過這是經過一番計算才知道.

所以我的問題是,Q1有沒有哪個isomorphism理論可以馬上將B轉過去E?就可以用比較幾何

的方式去分析商群.Q2還有判斷一元素在群中的定位除了order外,還有其他的方式嗎?

因為order 2 提供的資訊真是太少了. THX

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.171.171.243
→ Vulpix      :Q1你所想要的應該就是U(20)~ U(4)⊕U(5)~ Z_2⊕Z_4吧
→ Vulpix      :就是要確實知道上面那兩個isomorphism怎麼map！
→ Vulpix      :而第一個似乎沒有比較快的方法...
※ 編輯: coolbetter33    來自: 1.171.171.243        (07/31 09:20)
→ Vulpix      :Q2 關於x的最完整的資料應該是元素x與所有元素的乘積
→ Vulpix      :應該說元素x與所有元素個別的乘積，就是擷取乘法表中
→ Vulpix      :一整條(列或行)