Re: [線代] 對稱矩陣證明

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《musicbox810 (結束是一種開始)》之銘言：
: 我遇到一個對稱矩陣的證明
: 結果看起來很合理
: 但是我不知道該怎麼證明
: n*n對稱矩陣A,已知其對角線元素為不為零的數λ_1,λ_2,...λ_n
: 其逆矩陣A^-1的對角線元素為1/λ_1, 1/λ_2,...1/λ_n
: 證明A的非對角線元素皆為0
: 這個結果好像很理所當然
: 可是我不知道怎麼證......
: 拜託強者幫忙解答
: 萬分感謝

A = Q D Q^T

A^(-1) = Q D^(-1) Q^T

D = diag[λ_1,λ_2,...λ_n]  這裡的λ和musicbox810的不同

D^(-1) = diag[1/λ_1, 1/λ_2,... 1/λ_n]

Q正交矩陣具有Σ(Q_pi)^2 = 1
              i

對於每一個p = 1 ~ n


[A]_pp [A^(-1)]_pp  = 1 = Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)]
                           i                   j

考慮正定矩陣

Cauchy Inequality  Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)]
                   i                    j

                >= [Σ(Q_pi)^2]^2 = 1
                    i

因為在滿足Q的本身限制之下


Σ[(Q_pi)(Q_pi)λ_i]Σ[(Q_pj)(Q_pj)(1/λ_j)]為最小值=1
i                   j


所以 (Q_pi)√(λ_i) = C_p(Q_pi)[1/√(λ_i)] for  and all i


因為Σ(Q_pi)^2 = 1
    i

不可能Q_pi ＝ 0 for all i


(Q_pi)(λ_i) = C_p(Q_pi)


For p =/= q,


A_pq = Σ(Q_pi)(Q_qj)(λ_i)(δ_ij) = ΣC_p(Q_pi)(Q_qi)(δ_ij)
      i,j                           i,j


     = C_p Σ(Q_pi)(Q_qi)
           i

     = 0    QED


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◆ From: 128.220.147.97
推 jacky7987   :題目的意思應該不是D是λ_1到λ_n 而是A的對角線吧
→ Honor1984   :從D就能推出他要的結果
推 jacky7987   :喔喔 看到一樣符號會覺得怪怪XD
→ Honor1984   :原來你是指這個 那我這篇最好所有λ加個'變成λ'
→ Honor1984   :這樣才比較不會讓人混淆
→ Honor1984   :不過其實最後有沒有加是沒差的
推 jacky7987   :是阿 因為結論就是要說明A就是D
推 jacky7987   :不過我還是不太懂說為什麼[A]*[A]^(-1)的對角線那行
→ jacky7987   :怎麼推到eigenvalue都一樣的
推 musicbox810 :哇 結果有點超出想像 感謝Honor大 我研究一下
→ Vulpix      :這怪怪的@@|||  eigenvalue可以不一樣啊
推 TWN2        :這錯的吧 => λ_1 = λ_2 = ... = λ_n 這邊不對
→ Honor1984   :我也覺得怪怪的 我改一下 請板友再幫忙看一下 謝謝
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.159.5        (08/01 11:34)
→ Honor1984   :有一個細節還要再補 晚一點想一下
請板友再幫我檢查一下有沒有什麼錯誤 謝謝
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.144.133      (08/01 17:52)
→ Honor1984   :用多次Lagrange Multiplier應該也可以 但是太麻煩了
→ Honor1984   :做了一半而已 對於要考慮進去所有正交情況 我沒有做
→ Honor1984   :如果有人常識過 也歡迎補充
→ Vulpix      :看起來好極了。不過，特徵值不正的時候該怎麼辦？
→ Vulpix      :昨天嘗試著硬爆，發現好像可以爆，可是找不到一個
→ Vulpix      :通用的解法...
→ Honor1984   :如果是負定的話 就類似作法 如果有正有負 目前沒想過
→ Honor1984   :我覺得很像跟那種凸函數有點關係 其實我不很滿意這證
→ Honor1984   :法 希望能用純代數 不過謝謝V大幫我循一遍
→ Honor1984   :就是有a_1x_1 + a_2x_2 + ...但是a_i可正可負 沒研究
→ Honor1984   :如果非正定負定 原po的論述依然正確嗎?
→ Vulpix      :柯西不等式對凹凸這種事情要求很高的啊...
→ Vulpix      :嗯，應該是正確的，我硬爆了二、三階的都正確。
→ Vulpix      :四階正在嘗試，感覺只要觀察四階應該就能找到通解...
→ Honor1984   :強 很有毅力 能夠看出端倪也不容易  找到的話貼文吧
→ Honor1984   :我先去休息了 為了這個折騰了一陣子
推 sunev       :從A^-1=U^+ D U 不就知道U可以是I，然後得證嗎？
→ sunev       :啊，我搞錯了...orz
→ Vulpix      :愈來愈不放心了...n條方程式要解n(n-1)/2個變數...
→ Vulpix      :雖然不是整個 |R^n(n-1)/2 上，有挖掉一些hypersurf.
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.147.173      (08/02 18:37)
→ Honor1984   :就算給定一個Q也能夠造出無限多個具有本論述性質的A
→ Honor1984   :可以選擇很多組λ滿足這種情況  相當於把多餘自由度
→ Honor1984   :給定下來
→ Vulpix      :嗯...我不是對你的不放心，我是對我硬爆不放心...
→ sneak       : 如果是負定的話 就類似 https://noxiv.com
→ sneak       : 我先去休息了 為了這個 https://noxiv.com
→ muxiv       : 我也覺得怪怪的 我改一 https://moxox.com